√ Pembelajaran Simetri Lipat Di Sekolah Dasar

Pembelajaran Simetri Lipat di Sekolah Dasar -  Konsep simetri sanggup dipakai untuk mengkaji gambar-gambar bangkit datar. Terdapat dua jenis simetri, yaitu simetri lipat atau sanggup disebut juga dengan simetri cermin dan simetri putar atau rotasi.

Simetri lipat sanggup dijelaskan secara informal, yaitu jikalau ada suatu garis pada sebuah bangkit sehingga garis tersebut menimbulkan setengah belahan bangkit menutup setengah belahan bangkit lainnya. Garis yang membagi suatu bangkit menjadi dua belahan yang kongruen tersebut dinamakan garis simetri atau sumbu simetri. Tidak semua bangkit datar memiliki simetri, beberapa bangkit datar memiliki simetri dan beberapa bangkit datar lainnya tidak memiliki sumbu simetri. Gambar berikut ini menyampaikan beberapa bangkit dan sumbu simetrinya.

Pada pembelajaran simetri lipat di sekolah dasar ada baiknya kita memakai pendekatan berguru kelompok. Pendekatan ini kita gunakan untuk lebih mengaktifkan siswa selama proses pembelajaran berlangsung, mereka sanggup bertukar gosip satu sama lainnya di dalam kelompoknya. Disamping itu material / alat peraga yang disiapkan guru tidak perlu terlalu banyak. Material yang dipakai pada pembelajaran ini yaitu beberapa lembar kertas berbentuk persegi panjang. 

Salah satu alternatif pembelajarannya yaitu mengikuti langkah-langkah berikut ini:

1. Mintalah siswa bekerja dalam kelompk dan bagikan kepada setiap kelompok dua lembar kertas berbentuk persegipanjang.
2. Mintalah siswa melipat kertas pertama satu kali sekehendak mereka menjadi dua bagian.
3. Tanyakan kepada mereka apakah dua belahan bangkit itu merupakan bangkit yang kongruen (sama baik bentuk maupun ukurannya). Mungkin beberapa kelompok menyampaikan kedua belahan itu kongruen dan beberapa kelompok yang lain menyampaikan tidak kongruen.
4. Selanjutnya, mintalah mereka menulis sudut-sudut pada kertas kedua (yang belum digunakan) masing-masing dengan aksara A, B, C, dan D menyerupai tampak pada gambar berikut ini.

 

5. Mintalah siswa menciptakan garis PQ sedemikian sehingga membagi persegi panjang ABCD menjadi dua belahan yang kongruen menyerupai tampak pada gambar berikut ini.

 Proses melipat persegi panjang ABCD sepanjang garis PQ dinamakan gerak lipat.

6. Mintalah siswa melipat persegipanjang ABCD itu sepanjang garis PQ dan tanyakan apa yang terjadi antara A dan B serta antara C dan D. Jika persegi panjang ABCD dilipat sepanjang garis PQ, maka A berimpit dengan B, D berimpit dengan C, P berimpit dengan P, dan Q berimpit dengan Q. AD berimpit dengan BC, dan PQ berimpit dengan PQ menyerupai tampak pada gambar berikut ini.

7. Sampaikan kepada siswa bahwa persegi panjang ABCD itu memiliki simetri lipat, sebab sanggup dilipat menjadi dua belahan yang kongruen dan garis PQ sebagai sumbu simetrinya. Sampaikan pula bahwa banyak simetri lipat ditentukan oleh banyak cara melipat yang menghasilkan dua belahan yang kongruen.

 8. Tanyakan kepada siswa apakah kita sanggup menemukan simetri lipat yang lain pada persegi panjang ABCD.

Kita sanggup menemukan simetri lipat yang lain pada persegi panjang ABCD dengan cara mencari sumbu lipatnya. Selain sumbu lipat garis PQ, kita sanggup menemukan sumbu lipat yang lain , yaitu garis RS, sepersti tampak pada gambar berikut ini.

 

Perlu ditekankan kepada siswa bahwa banyaknya simetri lipat ditentukan oleh banyaknya sumbu simetri. Kita tidak sanggup menemukan sumbu simetri lain pada persegipanjang ABCD selain dua buah simetri yang telah ada. Dengan demikian pada persegipanjang ABCD kita memiliki 2 simetri lipat.
9. Mintalah siswa menggambar suatu jajargenjang dan mencari berapa banyak simetri lipatnya. Gambar jajargenjangnya menyerupai berikut ini.

Jika kita melipat dengan cara apapun jajargenjang di atas maka kita tidak akan memperoleh dua buah bangkit yang kongruen. Sampaikan kepada siswa bahwa bangkit ang demikian itu tidak memiliki simetri lipat sebab tidak memiliki sumbu simetri.
Untuk meningkatkan pemahaman siswa terhadap simetri lipat, mintalah mereka menuntaskan beberapa soal latihan yang telah disiapkan oleh guru. Contoh soal-soal latihannya yaitu sebagai berikut:

1. Buatlah satu bangkit dari kertas yang memiliki satu simetri lipat, sebutkan nama bangkit itu, dan tentukan sumbu simetrinya!
2. Buatlah satu bangkit dari kertas yang memiliki dua simetri lipat, sebutkan nama bangkit itu, dan tentukan sumbu simetrinya!
3. Buatlah satu bangkit dari kertas yang memiliki tiga simetri lipat, sebutkan nama bangkit itu, dan tentukan sumbu simetrinya!
4. Buatlah satu bangkit dari kertas yang memiliki empat simetri lipat, sebutkan nama bangkit itu, dan tentukan sumbu simetrinya!
5. Tentukan banyaknya simetri lipat untuk segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki!


Sumber :
http://file.upi.edu/Direktori/DUAL-MODES/PENDIDIKAN_MATEMATIKA_II/PEND.MAT_II-BBM_4_(PEMB.BANGUN-BANGUN_DATAR_II.pdf

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Pembelajaran Simetri Putar Di Sekolah Dasar

Pembelajaran Simetri Putar di Sekolah Dasar - Suatu bangkit memiliki simetri putar jikalau ada satu titik sentra dan bangkit tersebut sanggup diputar kurang dari satu putaran penuh sehingga bayangannya sempurna pada
bangkit semula. Gambar berikut ini memperlihatkan sebuah segitiga sama sisi diputar berlawanan arah dengan arah jarum jam sebesar 1/3 putaran dan diputar sebesar 2/3 putaran, dan juga diputar 1 putaran penuh untuk menghasilkan bayangan yang sempurna menempati gambar semula.

  

Untuk memperoleh bayangan bangkit yang sempurna menempati bangkit semula, setiap bangkit niscaya sanggup diputar satu putaran penuh memakai satu titik sebagai sentra putar. Bangun yang hanya sanggup diputar satu bundar penuh untuk menghasilkan bayangan sempurna dengan bangkit semula dikatakan bangkit itu tidak memiliki simetri putar. Gambar-gambar berikut ini mempunayi simetri putar kecuali trapesium.

 

Jika kita simak gambar-gambar di atas, tampak bahwa jajargenjang memiliki 2 simetri putar dengan sudut putar 180 derajat dan 360 derajat. Segitiga sama sisi memiliki 3 simetri putar dengan sudut putar 120 derajat, 240 derajat, dan 360 derajat. Persegipanjang memiliki 2 simetri putar dengan sudut putar 180 derajat dan 360 derajat. Persegi memiliki 4 simetri putar dengan sudut putar 90 derajat, 180 derajat, 270 derajat, dan 360 derajat. Belah ketupat memiliki 2 simetri putar dengan sudut putar 180 derajat dan 360 derajat. Sedangkan trapesium dikatakan tidak memiliki simetri putar alasannya yakni hanya sanggup diputar satu keliling bundar penuh atau satu putaran.

Terdapat bangkit datar yang memiliki simetri putar tetapi tidak memiliki simetri lipat, teladan jajargenjang. Sebaliknya, ada bangkit datar tidak memiliki simetri putar tetapi memiliki simetri lipat, teladan segitiga sama kaki tidak sama sisi. Anda sanggup mencari contoh-contoh lain untuk masalah-masalah simetri putar menyerupai ini.

Lingkaran yakni teladan khusus dalam pembahasan simetri lipat maupun simetri putar. Pada lingkaran, kita sanggup menemukan takhingga banyaknya garis simetri, alasannya yakni setiap garis yang melalui sentra bundar yakni garis simetri. Lingkaran juga memiliki tak sampai banyaknya simetri putar, alasannya yakni setiap sudut yang titik sudutnya di sentra bundar yakni sudut simetri putar.

 

Seperti pada pembelajaran simetri lipat, pada pembelajaran simetri putar di sekolah dasar ada baiknya kita memakai pendekatan mencar ilmu kelompok. Pendekatan ini kita gunakan untuk lebih mengaktifkan siswa selama proses pembelajaran berlangsung, mereka sanggup bertukar isu satu sama lainnya di dalam kelompoknya. Material yang dipakai pada pembelajaran ini yakni beberapa lembar kertas berbentuk persegi, persegipanjang, dan segitiga sama sisi. Salah satu alternatif pembelajarannya yakni mengikuti langkah-langkah berikut ini:

1. Bagikan kepada setiap kelompok satu buah bangkit datar berbentuk persegi.
2. Mintalah siswa menempatkan bangkit persegi itu di atas kertas putih di atas meja belajarnya dan menuliskan abjad A, B, C, dan D berturut-turut pada sudut-sudut bangkit itu.
3. Bimbinglah siswa untuk memilih titik putarnya dan lobangi titik putar bangkit itu, serta mintalah siswa memperlihatkan noktah (titik) pada kertas putih sempurna dibawah titik putar bangkit itu.
4. Mintalah siswa menggandakan bangkit itu dengan pensil di atas kertas putihnya dan menuliskan pula abjad A, B, C, dan D pada sudut-sudutnya.
5. Mintalah siswa memutar bangkit itu sebesar ¼ putaran atau 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam. Jangan lupa ingatkan bahwa titik putarnya jangan berpindah posisi. Tanyakan kepada siswa posisi titik apa pada gambar di bawah bangkit itu (pada kertas putih) yang ditempati titik A pada bangkit persegi. Tanyakan pula posisi titik pada gambar di bawah bangkit persegi (pada kertas putih) yang ditempati oleh titik B, C, dan D pada bangkit persegi. Akan tampak bahwa titik A pada bangkit persegi menempati posisi titik B pada gambar di bawahnya. Titik B menempati posisi titik C, titik C menempati posisi titik D, dan titik D menempati posisi titik A.
6. Mintalah siswa memutar bangkit itu sebesar 180 derajat berlawanan arah dengan arah putar jarum jam dan berikan pertanyaan-pertanyaan menyerupai pada nomor 5. Minta pula mereka memutar bangkit itu sebesar 270 derajat berlawanan arah dengan arah putar jarum jam dan berikan pertanyaan-pertanyaan yang sama menyerupai di atas. Akhirnya, mintalah mereka memutar satu putaran penuh dan berikan pertanyaan-pertanyaan yang sama pula dengan pertanyaan-pertanyaan di atas.
7. Jika bangkit itu diputar sebesar 180 derajat berlawanan arah dengan arah putar jarum jam, akan tampak bahwa titik A pada bangkit persegi menempati posisi titik C pada gambar di bawahnya. Titik B menempati posisi titik D, titik C menempati posisi titik A, dan titik D menempati posisi titik B. Jika bangkit itu diputar sebesar 270 derajat berlawanan arah dengan arah putar jarum jam, akan tampak bahwa titik A pada bangkit persegi menempati posisi titik D pada gambar di bawahnya. Titik B menempati posisi titik A, titik C menempati posisi titik B, dan titik D menempati posisi titik C. Jika bangkit itu diputar sebesar satu putaran penuh, akan tampak bahwa titik A pada bangkit persegi menempati posisi titik A pada gambar di bawahnya. Titik B menempati posisi titik B, titik C menempati posisi titik C, dan titik D menempati posisi titik D, atau dikatakan titik-titik itu menempati posisinya sendiri.
8. Tanyakan ada berapa simetri putar yang dimiliki oleh suatu persegi dan berapa besar sudut putarnya.
9. Dari percobaan di atas, terang bahwa persegi memiliki 4 simetri putar dengan sudut putar 90 derajat, 180 derajat, 270 derajat, dan 360 derajat.
10. Mintalah siswa untuk menemukan balasan dari pertanyaan-pertanyaan berikut:

         a. Tentukan banyaknya simetri putar dan besar sudut putarnya pada bangkit segitiga sama sisi!
         b. Tentukan banyaknya simetri putar dan besar sudut putarnya pada bangkit persegipanjang!

Sumber :

http://file.upi.edu/Direktori/DUAL-MODES/PENDIDIKAN_MATEMATIKA_II/PEND.MAT_II-BBM_4_(PEMB.BANGUN-BANGUN_DATAR_II.pdf

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Pembelajaran Pengubinan Di Sekolah Dasar

Pembelajaran Pengubinan di SD - Pengubinan merupakan penempatan berdiri datar dalam suatu luasan secara tepat tanpa celah. Prosedur penempatan berdiri datar dalam menutupi sebuah luasan ini bertujuan menghasilkan sebuah karya seni namun memakai prinsip-prinsip matematika.  Pengubinan sendiri dipakai pada zaman Romawi Kuno dan merupakan Karya Seni dalam kebudayaan Muslim. 

Kata tessellation (pengubinan) sendiri berasal dari bahasa Yunani tessera, yang dikaitkan dengan  aegiempat dan ubin. Agaknya ini ialah sebuah  indikasi dan fakta bahwa ubin bentuk segiempat  ialah yang paling gampang untuk saling menutupi bidang segiempat yang lain tanpa menyisahkan celah.. Ubin ialah fitur umum seni dekoratif dan terjadi di dunia alami di sekitar kita. Dua orang pada prinsipnya bertanggung jawab untuk menyidik dan berbagi pengubinan: Roger Penrose, spesialis matematika terkemuka, dan seniman, M.C.Escher.

Mengingat sejarah dan tujuan dari pengubinan ini, pembelajaran matematika topik pengubinan sanggup diintegrasikan dengan sejarah (IPS) dikala anak berguru ihwal sejarah Romawi Kuno atau Kerajaan Islam. Pengubinan juga menawarkan kesempatan pada belum dewasa untuk menghasilkan karya seni dengan menghubungkan topik atau bahan lintas mata pelajaran ibarat prakarya, matematika dan sejarah.

Pengubinan merupakan salah satu konsep matematika penting yang diberikan kepada siswa semenjak usia sekolah dasar. Oleh alasannya ialah itu para guru dan juga calon guru mesti memahami konsep pengubinan tersebut supaya sanggup mengajarkan konsep pengubinan pada siswa sekolah dasar.

1. Pengertian Pengubinan

Daerah segibanyak ialah campuran antara segibanyak dan tempat didalamnya. Penyusunan daerah-daerah segibanyak yang sisi-sisinya berimpit sehingga menutup bidang secara tepat (tidak ada bab yang tidak tertutup) dinamakan pengubinan. Gambar-gambar berikut ini memperlihatkan pengubinan dengan segitiga-segitiga siku-siku dan pengubinan dengan segitiga sama kaki.

Gambar Model Pengubinan dengan Segitiga Samakaki dan Segitiga Siku Siku

2. Pengubinan dengan banyak sekali segibanyak

Perhatikan kedua gambar di atas. Pada gambar pertama memperlihatkan pengubinan dengan segitiga siku-siku. Pola pada pengubinan ini ialah ada 6 segitiga siku-siku bertemu pada satu titik. Keadaan ibarat ini dikatakan bahwa konfigurasi segitiga siku-siku bertemu di satu titik ialah (3, 3, 3, 3, 3, 3).

Barisan enam 3-an ini menyatakan bahwa ada enam segitiga siku-siku bertemu pada setiap titik sudutnya. Hal serupa juga terjadi pada gambar kedua. Pada gambar kedua, konfigurasi segitiga sama kaki bertemu di satu titik adalah
juga (3, 3, 3, 3, 3, 3).

Mintalah siswa bekerja dalam kelompok menciptakan pengubinan dengan memakai segitiga sama sisi, persegipanjang, trapesium, dan layang-layang. Kemudian mintalah mereka menuliskan konfigurasinya.

 

Perhatikan gambar sebuah berdiri segienam beraturan di atas. Jika kita akan melihat apakah mungkin kita sanggup melaksanakan pengubinan dengan bangun-bangun segienam itu dan bagaimana bentuk konfigurasi segienam beraturan itu bertemu pada satu titik, maka harus memusatkan perhatian pada salah satu sudut segi enam beraturan itu. Untuk itu perhatikan lingkaran yang ada pada salah satu sudut segienam beraturan di atas. Misalkan kita telah mengetahui bahwa besar satu sudut segi enam beraturan ialah 120 dan kita telah mengetahui bahwa besar sudut satu lingkaran penuh ialah 360. Kita ingin mengetahui apakah mungkin ada beberapa segienam beraturan lain yang sanggup menutup tempat lingkaran yang tersisa. Karena kita sudah memiliki sudut sebesar 120, kita masih memerlukan campuran sudut dari beberapa segienam beraturan yang besarnya ialah 360 – 120 = 240. Karena itu kita memerlukan dua buah berdiri segienam lagi. Dengan demikian, konfigurasi pengubinan dengan memakai segienam beraturan bertemu pada sebuah titik ialah (6, 6, 6).


Pertanyaan selanjutnya adalah, apakah mungkin kita menciptakan pengubinan memakai hanya bangun-bangun segilima beraturan? Misalkan kita telah mengetahui bahwa besar satu sudut segi lima beraturan ialah 1080. Untuk itu kita masih memerlukan campuran sudut-sudut dari beberapa segilima beraturan yang besarnya 360 – 108 = 252. Ada berapa buah sudut segilima beraturan sehingga berukuran 2520? Karena satu sudut segilima beraturan besarnya 1080, kita tidak memperoleh bilangan bundar yang menyatakan banyaknya sudut segilima yang diperlukan. Dengan demikian, kita tidak sanggup melaksanakan pengubinan dengan memakai hanya bangun-bangun segilima dan gambarnya kira-kira ibarat tampak berikut ini.
  

Untuk memilih pengubinan bangun-bangun segibanyak beraturan, kita harus memahami besar setiap sudut pada segibanyak beraturan. Kita telah mengetahui bahwa jumlah ukuran sudut segitiga ialah 180 dan besar ukuran sudut satu lingkaran penuh ialah 360. Meskipun demikian, mungkin banyak diantara kita belum mengetahui besar ukuran setiap sudut dalam segibanyak beratuarn. Untuk itu, sebelum mengakhiri pembahasan pengubinan, kita bicarakan sedikit ihwal besar ukuran setiap sudut pada segibanyak beraturan, yaitu sebagai berikut:

1. Segitiga beraturan (segitiga sama sisi)

Karena jumlah ukuran sudut dalam segitiga beraturan ialah 180, besar ukuran setiap sudutnya ialah 60.

2. Segiempat beraturan (persegi)

     Karena segiempat beraturan sanggup dibangun dari dua segitiga, maka jumlah ukuran sudut dalam segiempat itu ialah 2 x 180 = 360 (lihat gambar di bawah ini). Dengan demikian, besar ukururan setiap sudutnya ialah 90.

3. Segilima beraturan

     Perhatikan gambar berikut ini.

 Baca juga: Alat Peraga Matematika untuk Pengubinan

Gambar di atas ialah segilima beraturan yang dibagi menjadi lima buah segitiga kongruen. Setiap segitiga itu memiliki jumlah ukuran sudut 1800, akibatnya, lima buah segitiga memiliki jumlah ukuran sudut 5 x 180 = 900. Ukuran sudut ini memperlihatkan campuran antara jumlah ukuran segilima beraturan dan besar sudut pusatnya (sudut yang ada di tengah-tengah segilima). Karena ukuran sudut sentra itu ialah 360, jumlah ukuran segilima beraturan itu ialah 900 – 360 = 540. Dengan demikian, besar setiap sudut dalam segilima beraturan ialah 540 : 5 = 108.

4. Segienam beraturan

    Perhatikan gambar berikut ini.

 

Gambar di atas ialah segienam beraturan yang dibagi menjadi enam buah segitiga kongruen. Setiap segitiga itu memiliki jumlah ukuran sudut 1800, akibatnya, enam buah segitiga memiliki jumlah ukuran sudut 6 x 1800 = 10800. Ukuran sudut ini memperlihatkan campuran antara jumlah ukuran segilima beraturan dan besar sudut pusatnya (sudut yang ada di tengah-tengah segilima). Karena ukuran sudut sentra itu ialah 360, jumlah ukuran segienam beraturan itu ialah 1080 – 360 = 720. Dengan demikian, besar setiap sudut dalam segilima beraturan ialah 720 : 60 = 120.

Dari hasil nomor 1 hingga dengan nomor 4 di atas, kita dapan memperoleh contoh untuk mencari besar steiap sudut segibanyak beraturan. Pola itu ialah sebagai berikut:

Sumber :

http://file.upi.edu/Direktori/DUAL-MODES/PENDIDIKAN_MATEMATIKA_II/PEND.MAT_II-BBM_4_(PEMB.BANGUN-BANGUN_DATAR_II.pdf

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Pembelajaran Sistem Koordinat Di Sekolah Dasar

Pembelajaran Sistem Koordinat di Sekolah Dasar - Pembelajaran sistem koordinat sanggup dimulai dengan sebuah permainan. Misalnya seorang siswa ditutup matanya, lalu diminta untuk mencari satu buah apel yang ditempatkan di suatu daerah di depan ruang kelas. Untuk sanggup memperoleh buah apel itu ia harus mengikuti perintah dari seorang temannya. Teman itu akan memberi perintah berupa melangkah ke kanan dua langkah, belok ke kiri satu langkah, dan seterusnya hingga buah apel itu diperoleh. Permainan ini akan membantu siswa memahami posisi atau koordinat di dalam sistem koordinat bidang. Siapkan garis bilangan dari karton atau kertas, berilah karakter A, B, C, dan seterusnya menyerupai gambar di bawah ini.

Sampaikan bahwa bilangan yang dihubungkan dengan suatu titik pada garis bilangan itu dinamakan koordinat. Karena A dihubungkan dengan bilangan 0, koordinat A yaitu 0.
Tanyakan kepada siswa berapa koordinat A, B, C, dan D. Sampaikan pula kepada siswa bahwa garis bilangan juga sanggup disajikan secara vertikal sebagai berikut: 

Kita sanggup menciptakan dua garis bilangan secara bersamaan. Satu garis bilangan dibentuk secara horisontal dan yang lain dibentuk secara vertikal dan pangkal kedua garis bilangan itu bertemu pada sebuah titik. Mintalah siswa memperhatikan gambar berikut ini.

 

Titik O berada pada posisi 0 ke kanan dan 0 ke atas, ditulis koorninat titik O yaitu (0, 0) atau O(0, 0). Titik A berada pada posisi 3 ke kanan dan 1 ke atas, ditulis koordinat titik (3, 1) atau A(3, 1). Titik B berada pada posisi 2 ke kanan dan 2 ke atas, ditulis koorninat titik (2, 2) atau B(2, 2). Titik C berada pada posisi 5 ke kanan dan 3 ke atas, ditulis koordinat titik (5, 3) atau C(5, 3). Mintalah siswa menyalin gambar di atas lalu mengatakan letak titik D(2, 3), dan E(4, 2) pada gambar. Sampaikan pada siswa bahwa garis horisontal dan garis vertikal itu harus tegak lurus dan dinamakan sumbu-sumbu koordinat. Garis horisontal (sumbu horisontal) sendiri dinamakan absis, dan garis vertikal (sumbu vertikal) sendiri dinamakan ordinat. Koordinat-koordinat yang ada pada bidang itu dinamakan koordinat kartesius.

 Baca Juga :  Sistem Koordinat Kartesius

Koordinat suatu titik tidak hanya ditunjukkan oleh pasangan bilangan-bilangan positif, tetapi juga sanggup berupa pasangan bilangan nyata dan negatif, negatif dan positif, atau negatif dan negatif, Jika bilangan pertama pada suatu pasangan bilangan bernilai negatif, maka posisi titiknya berada di sebelah kiri titik pangkal, dan kalau bilangan kedua pada suatu pasangan bilangan bernilai negatif, maka posisi titiknya berada di sebelah bawah titik pangkal. Sistem untuk memilih posisi suatu titik yang memakai sumbu horisontal dan vertikal tersebut dinamakan sistem salib sumbu. Sistem ini sanggup disajikan dalam gambar sebagai berikut:

Pada gambar di atas, titik A berada pada posisi 3 ke kiri (ditulis –3) dan 3 ke atas. Dengan demikian, koorninat titik A yaitu (-3, 3) atau A(-3, 3). Mintalah para siswa menuntaskan soal wacana sistem koordinat yang telah disiapkan oleh guru.

Contoh soalnya yaitu sebagai berikut:

Gambarlah titik A(-2, 0), B(0, -4), C(2, 0), dan D(0, 1) dalam sebuah sistem salib sumbu. Buatlah sebuah garis yang menghubungkan titik A dengan titik B, titik B dengan titik C, titik C dengan D, dan titik D dengan titik A. Tuliskan nama bangkit ABCD itu!

Sumber :

http://file.upi.edu/Direktori/DUAL-MODES/PENDIDIKAN_MATEMATIKA_II/PEND.MAT_II-BBM_4_(PEMB.BANGUN-BANGUN_DATAR_II.pdf

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Beberapa Acara Pembelajaran Simetri Lipat Dan Simetri Putar Di Sekolah Dasar

Beberapa Aktivitas Pembelajaran Simetri Lipat dan Simetri Putar di SD

Aktivitas 1: Menentukan Simetri dengan Menggunakan Alat Peraga Bangun Datar

Untuk sanggup menawarkan berdiri datar yang simetris, sebagai langkah awal kita sanggup memakai alat peraga model kawasan berdiri datar, yang berbentuk segitiga, segiempat, dan bulat menyerupai pola berikut. Jika perlu Anda sanggup memakai cermin untuk memilih letak garis simetri.

Aktivitas 2: Membuat Bangun Simetri

Untuk menciptakan berdiri yang simetri, lakukan hal-hal berikut.
1.Gambarlah sebuah segitiga JKL menyerupai gambar di bawah ini.

2.Gunakan sifat-sifat pencerminan untuk memilih bayangan segitiga JKL, yaitu jarak titik-titik pada gambar orisinil ke cermin ke cermin sama dengan jarak titik-titik pada gambar bayangan ke cermin
3. Hitunglah jarak dari tiap titik ke cermin/sumbu simetri

4. Gambarlah titik-titik yang berjarak sama dengan sumbu menyerupai titik-titik di sisi lainnya.
5. Hubungkan titik-titik tersebut yang merupakan bayangan segitiga JKL, yaitu J’K’L’

Aktivitas 3: Menentukan Simetri Putar 

Aktivitas 4: Menentukan Sumbu Simetri dan Simetri Putar

Tentukan banyaknya sumbu simetri dan simetri putar untuk setiap berdiri datar beraturan menyerupai pada tabel berikut.

Jika perlu Anda sanggup memakai cermin untuk memilih letak garis simetri. Untuk memilih banyaknya simetri putar Anda sanggup memakai kertas tipis untuk meniru berdiri datar beraturan.

Kesimpulan:

 Banyaknya sumbu simetri berdiri datar dengan sisi n ialah ... dan banyak simetri putarnya ialah .... Ukuran sudut rotasi terkecil untuk suatu simetriputar dari berdiri datar dengan sisi n adalah

Sumber: Modul Guru Pembelajar SD Kelas Tinggi 

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Teorema Pythagoras, Kebalikan Teorema Pythagoras Dan Tripel Pythagoras

Teorema Pythagoras, Kebalikan Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras - Bagi yang pernah mencicipi dingklik sekolah, niscaya pernah berguru matematika dan pernah mendengar nama salah satu tokoh matematika yang populer yaitu Phytagoras (Jika ingin membaca sedikit perihal riwayatnya, silahkan mengunjungi : Biografi Phytagoras sang Pencetus Teorema Pythagoras) . Teorema Phytagoras  pertama kali ditemukan oleh spesialis matematika berkebangsaan Yunani berjulukan Phytagoras. Pertanyaannya, apa yang dijelaskan dalam teorema ini ? Jawabannya yakni Teorema Phytagoras menjelaskan perihal kekerabatan antara panjang sisi pada segitiga siku-siku. Bunyi Teorema Phytagoras yaitu

“Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring yakni sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi-sisi siku-sikunya.

Pertanyaan lanjutannya yakni bagaimana mengambarkan bahwa teorema Pythagoras berbunyi ibarat di atas ?  Berikut ini akan dijelaskan mengenai  Teorema Pythagoras, Kebalikan Teorema Pythagoras dan Tripel Pythagoras.

1#Teorema Pythagoras 

Untuk mengambarkan atau menemukan rumus sisi miring sebuah segitiga siku-siku maka perlu membaca langkah-langkah berikut yang membawa kita pada kesimpulan ibarat suara Teorema Pythagoras yang dituliskan di atas.

Perhatikan baik-baik segitiga ABC pada gambar berikut. 

Sudut siku-siku dari segitiga tersebut terletak di C Sisi AC dan BC disebut sisi siku-siku, sedangkan sisi AB disebut hipotenusa (sisi miring).

Hipotenusa atau sisi miring yakni sisi yang dihadapan sudut siku-siku. Ukuran panjang sisi dihadapan titik A biasa dimisalkan a satuan panjang (misal cm), ukuran panjang sisi dihadapan titik B yakni b satuan panjang dan ukuran panjang dihadapan titik C yakni c satuan panjang. Permasalahannya yakni kalau ukuran a dan b bagaimana rumus c yang dinyatakan a dan b.

Sekarang perhatikan gambar persegi KLMN dengan ukuran sisinya (a + b). Untuk mengambarkan teorema di atas dibuatlah persegi dengan ukuran sisi (a +b) dalam dua gambar yang berbeda sebagai berikut:

Luas kedua persegi itu sama yaitu (a +b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2. Perhatikan Gambar sebelah kanan PQK siku-siku di K dengan PK = a dan QK = b sehingga luas tempat PQK yakni ½ ab. Demikian pula luas tempat PSL = luas tempat RSM = luas tempat QRN = ½ ab. Segiempat PQRS berupa persegi dengan panjang sisi c, sehingga luas wilayahnya yakni c^2. Luas tempat PQRS = luas tempat KLMN – luas tempat PQK- luas tempat PSL luas tempat - RSM - luas tempat QRN atau

c^2 = a^2 + 2ab + b^2 – ½ ab – ½ ab – ½ ab – ½ ab atau c^2 = a^2 + 2ab + b^2 – 2ab = a^2 + b^2 

 Jadi c^2=a^2+b^2

dimana:
 c^2: Kuadrat sisi miring
a^2: kuadrat sisi siku siku pertama
b^2: kuadrat sisi siku siku kedua


Dari bentuk matematis di atas, maka suara Teorema Phytagoras yaitu semoga gampang dihafalkan yakni sebagai berikut:

“Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring yakni sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi-sisi siku-sikunya.

#2 Kebalikan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada ABC kalau C siku-siku, maka a^2 + b^2 = c^2. Perlu diingat kembali bahwa c merupakan sisi yang terpanjang. Kebalikan dalil Pythagoras adalah, pada ABC dengan sisi yang terpanjang yakni c , kalau c^2 = a^2 + b^2 maka C siku-siku.
Perhatikan gambar gambar di atas, pada Gambar sanggup diketahui bahwa c^2 = a^2 + b^2 , apakah C siku-siku ? Sedangkan Gambar kedua bab kiri yakni segitiga siku-siku dengan sisi-sisi sikunya a dan b, hipotenusanya tidak diketahui, misalkan x. Berdasarkan dalil Pythagoras, maka x^2 = a^2 + b^2. Dari c^2 = a^2 + b^2 dan x^2 = a^2 + b^2 diperoleh kesimpulan bahwa x^2 = a^2 atau x = a. Dengan demikian kedua segitiga itu ABC dan PQR sisi sisi yang bersesuian mempunyai ukuran sama AB = PQ, AC = PR, dan BC = QR. Dengan kata lain ABC kongruen PQR, jadinya sudut-sudut yang bersesuaian haruslah berukuran sama, sehingga ukuran C = ukuran R, artinya C siku-siku. 

#3 Tigaan (Tripel) Pythagoras 

Ukuran ketiga sisi-sisi segitiga siku-siku berupa bilangan orisinil disebut tripel Pythagoras. Misalnya 3, 4, dan 5 lantaran 32 + 42 = 52, demikian pula 5, 12, dan 13 lantaran 52 + 122 = 132. Untuk memperoleh tripel Pythagoras, isilah table berikut ini dengan cara menentukan dua bilangan orisinil yang berbeda, contohnya m dan n dengan m > n.

Untuk pembahasan lebih lengkap perihal cara mencari tigaaan atau tripel Pythagoras silahkan mengunjungi postingan lainnya: Tentang Cara Mencari Tripel Pythagoras

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Wacana Memilih Luas Kawasan Trapesium

Tentang Menentukan Luas tempat Trapesium - Trapesium yakni bangkit datar segiempat yang mempunyai sempurna sepasang sisi yang sejajar. Untuk menemukan luas trapesium dilakukan dengan dua cara. Cara pertama yakni dengan membagi-bagi trapesium menjadi tiga bangkit datar yang lain yaitu dua buah segitiga dan sebuah segiempat. Cara kedua yakni dengan melaksanakan rotasi dimana disediakan dua buah trapesium yang kongruen dimana salah satunya dirotasi sehingga kedua trapesium tersebut tersusun ibarat jajaran genjang. Misalkan akan ditentukan luas tempat Trapesium pada gambar 1 di bawah ini.

Gambar 1: Trapesium PQRS dengan garis sejajar PQ dan RS serta tinggi h

Trapesium PQRS yang ditunjukkan di atas dimanavsisi PQ sejajar dengan sisi RS. Kita mengetahui bahwa luas trapesium (A) dengan sisi sejajar b1 dan b2 serta tinggi h dirumuskan sebagai berikut:

Untuk mendapat rumus luas trapesium yang tertera di atas sanggup dilakukan dengan dua cara mirip yang dipaparkan di awal artikel ini. yaitu dengan menemukan luas masing-masing kepingan trapesium yang dibagi-bagi dan dengan cara rotasi.

Cara Pertama : Membagi Trapesium menjadi Beberapa Bagian lalu dihitung luas masing-masing lalu dihitung luas totalnya.

Jika kita menarik garis putus-putus pada P dan Q, maka kita akan mempunyai dua buah garis tinggi yaitu PT dan QU, yang keduanya mempunyai panjang h mirip terlihat pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2: Trapesium PQRS dibagi bagi menjadi dua buah segitiga dan satu buah segiempat

Dari Gambar 2 mirip yang ditunjukkan di atas, terang bahwa:

Luas PQRS = Luas PST + Luas PQUT + Luas QRU.

Telah diketahui bahwa luas segitiga yakni hasil kali dari bantalan dan tingginya dibagi 2, dan luas persegi panjang yakni hasil kali panjang dan lebarnya. Berdasarkan luas segitiga dan persegi panjang maka akan dengan gampang menghitung luas PQRS.

    Luas PQRS = Luas PST + Luas PQUT + Luas QRU.

 Persamaan di atas disederhanakan menjadi

dimna a+ b1 + c sama dengan b2,  Oleh sebab itu,

Cara kedua: Rotasi

Cara yang dilakukan adalah dengan melaksanakan rotasi dimana disediakan dua buah trapesium yang kongruen dimana salah satunya dirotasi sehingga kedua trapesium tersebut tersusun ibarat jajaran genjang. 

Misalkan duplikasi dari Trapesium PQRS yakni P'Q'R'S' dan P'Q'R'S dirotasi selanjutnya disusun sebagai berikut:

 

Berdasarkan gambar di atas terang bahwa luas jajaran genjang PS'SP' dengan bantalan b1+b2 dan tinggi h adalah:

Karena PS'SP' merupakan adonan dari dua buah trapesium maka luas trapesium yakni luas jajaran genjang PS'SP'dibagi dua, yaitu:

Demikian cara memilih luas tempat trapesium. Sebagai catatan bahwa penggunaan cara ini bila luas persegi panjang, luas segitiga dan luas jajaran genjang telah dipelajari.

Semoga bermanfaat.

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Berdiri Ruang: Berpikir Induktif Dalam Penurunan Rumus Volume Berdiri Ruang

Bangun Ruang: Berpikir Induktif dalam Penurunan Rumus Volume Bangun Ruang - Geometri merupakan bab matematika yang membahas ihwal bentuk dan ukuran dari suatu obyek yang mempunyai keteraturan tertentu (Clemens, 1985 dalam Raharjo, 2009). Geometri sudah dikenalkan semenjak siswa kelas I sekolah dasar berupa teladan konsep dan bukan teladan konsep dari suatu obyek geometri misalnya: bola dan bukan bola, tabung dan bukan tabung, balok dan bukan balok, lingkaran dan bukan lingkaran, segitiga dan bukan segitiga, serta segiempat dan bukan segiempat.
Di kelas-kelas berikutnya dilanjutkan dengan menggambar berdiri datar, berdiri ruang, menghitung panjang, luas, sampai volume pada batas-batas yang sesuai untuk tingkatan SD.

Secara umum, berpikir induktif dalam matematika diartikan sebagai berpikir dari unsur-unsur atau pola-pola menuju ke suatu generalisasi (kesimpulan yang bersifat umum). Kebenaran suatu pernyataan matematika secara induktif diturunkan menurut hasil eksperimen dan pengamatan pola sehabis diadakan abstraksi dan idealisasi (Wirasto, 1982). Abstraksi yakni anggapan di alam pikiran bahwa obyeknya ada, sedangkan idealisasi yakni anggapan bahwa obyeknya ideal (sempurna dalam segala hal).

Isi (volum) suatu ember (bangun ruang berongga) ialah banyaknya dosis yang sanggup dipakai untuk memenuhi ember tersebut. Bejana merupakan berdiri ruang berongga dengan ruangan dalam rongganya sanggup diisi dengan zat cair, beras, pasir dan sebagainya. Karena ember merupakan berdiri ruang yang mempunyai keteraturan maka bentuk ember sanggup berupa:- toples- termos- tangki- kolam mandi- tandon air- kolam renang, dan sebagainya. Sedangkan satuan volum/satuan penakarnya berupa ember lain yang biasanya mempunyai ukuran yang lebih kecil. Satuan penakar sanggup berupa:- cangkir,- gelas,- tabung dosis bensin 1 literan, 1/2 literan, 2 literan dan seterusnya;- kubus-kubus satuan, dan lain-lain.

Sebagai contoh, apabila sebuah toples sanggup dipenuhi dengan air sebanyak 15 cangkir kurang sedikit maka dikatakan (setelah dibulatkan) bahwa: Volum toples = 15 cangkir. Bila toples sanggup dipenuhi dengan air sebanyak 8 gelas lebih sedikit maka dikatakan (setelah dibulatkan) bahwa:Volum toples = 8 gelas. Berdasarkan teladan ini, volume diartikan sebagai banyaknya satuan penakar yang sanggup dipakai untuk mengisi ember itu sampai penuh.

Gambar (A) : Keadaan balok transparan kosong
Gambar (B) : Keadaan balok transparan sehabis diisi/ditakar dengan kubus-kubus satuan (satuan dosis berupa kubus)
Gambar (C) : Satuan dosis (berupa kubus) yang digunakan.

Dengan mengisikan kubus-kubus satuan ke dalam balok transparan pada gambar (A) satu demi satu (diperagakan di hadapan siswa) sampai penuh (gambar B) dan melaksanakan penghitungan satu, dua, tiga, … dan seterusnya, ternyata hitungan terakhirnya 24. Ini berarti isi balok (gambar B) yakni 24 satuan kubus. Guru sanggup mempertegas dengan menulis di papan tulis bahwa:

Untuk selanjutnya disepakati bahwa: 1 (satu) liter ialah satuan ukuran volum yang setara dengan kubus satuan berukuran panjang, lebar, dan tinggi masing-masing 1 (satu) desimeter. Sejalan dengan kedua teladan satuan kubus di atas siswa kemudian diajak menyimpulkan bahwa satu meter kubik yakni satuan volum berbentuk kubus dengan ukuran:

Sebagai pengetahuan ihwal satuan volum tak baku kepada siswa sanggup diberikan teladan Satuan volum tak baku ibarat cangkir, gelas, mangkuk, ember dan lain-lain, yaitu satuan alat takar yang belum diketahui ukurannya menurut satuan ukuran baku. Satuan volum baku: Adalah alat penakar yang sudah diketahui ukuran volumnya ibarat - dosis bensin (bentuk tabung) satu literan, dua literan, empat literan dan lain lain;- Gelas-gelas ukur yang di dalamnya terdapat skala-skala ketinggian yang menyatakan volum;- Meteran (angka bergerak) pada pompa bensin dan sejenisnya, Meteran ukur volum ibarat ini hanya berlaku untuk zat cair (air, minyak, alkohol, tiner dsb.) alasannya yakni gerakan angkanya menurut atas kecepatan (debit) dari zat cair yang dialirkan.Debit zat cair ialah volum zat cair yang sanggup dialirkan melalui selang (pipa) per satuan waktu (detik, per menit, per jam dan sebagainya).

Sumber: MARSUDI RAHARJO. (2009) GEOMETRI RUANG.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PMPTK). YOGYAKARTA: PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (P4TK) MATEMATIKA

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Volume Bangkit Ruang: Penurunan Rumus Volume Balok/Prisma Tegak Segiempat Secara Induktif

Volume Bangun Ruang: Penurunan Rumus Volume Balok/Prisma Tegak Segiempat Secara Induktif-Untuk menawarkan pikiran sehat dalam memperoleh rumus-rumus volum secarainduktif dipakai alat peraga kubus-kubus satuan. Harapannya dengan melakukanpraktek eksklusif atas instruksi guru siswa karenanya sanggup menyimpulkan sendiri bahwavolum balok yang ukuran panjang rusuk alasnya p, lebar rusuk alasnya l, dan tinggi rusuk tegaknya t adalah: V=pxlxt

Jika siswa sanggup menyimpulkan sendiri ibarat itu maka kompetensi yang dibutuhkan sanggup tercapai. Langkah-langkah yang sanggup dilakukan guru dengan memakai peraga (kubus-kubus satuan) itu kepada siswa Sekolah Menengah Pertama antara lain ialah ibarat berikut.

Langkah 1:
Dengan sejumlah kubus satuan yang tersedia (misal sebanyak 50 kubus satuan), siswa/ kelompok siswa (sebanyak 3 orang) diminta membentuk sebuah balok memakai 8 kubus satuan. Setelah terbentuk contohnya ibarat gambar 4a

Tanyakan kepada siswa/kelompok siswa tersebut, apakah balok yang mungkin hanya itu saja?
Jawaban yang dibutuhkan ialah tidak.Kalau tidak kemungkinan lainnya bentuknya ibarat apa?
Kemungkinan yang lain bentuknya ibarat pada gambar 4b berikut ini.

Langkah 2
Siswa diminta membentuk balok ibarat gambar 4a sebanyak 3 buah. Guru menyampaikan bahwa ketiga balok itu (gambar 5a) masing-masing disebut balok satu lapis.

Langkah 3
Siswa diminta membentuk balok gres yang terdiri dari 2 lapis. Jawaban yang dibutuhkan ialah ibarat gambar 5b berikut.

Kepada siswa/kelompok siswa tersebut lalu ditanyakan berapa volume balok yang kini ini? (Gb. 5a). Jawaban yang dibutuhkan ialah 16 (“penalarannya dari lapis pertama 8 ditambah lapis kedua 8)

Langkah 4
Siswa diminta menambah lapisannya menjadi 3 lapis.
Jawaban yang dibutuhkan ialah ibarat gambar 5c berikut.

Kepada siswa/kelompok siswa tersebut lalu ditanyakan kini berapa volume
balok yang terbaru ini? Jawaban yang dibutuhkan ialah 24 (“penalarannya dari lapis pertama 8 ditambah lapis  kedua 8 dan lapis ketiga 8 atau yang 2 lapis sebelumnya 16 ditambah lapis yang ketiga 8”)

Langkah 5
Tanyakan kepada mereka (siswa/kelompok siswa) “ kalau banyaknya lapis ada 10 berapa volumenya, bagaimana kalau banyaknya lapis ada 100? kalau kita menganggap pembentukan lapisannya tak pernah runtuh.Jawaban yang dibutuhkan ialah 1 lapis volumenya 8 satuan 10 lapis volumenya 80 satuan, dan  100 lapis volumenya 800 satuan.

Langkah 6
Tanyakan kepada siswa berapa volume balok untuk masing-masing gambar berikut

Jawaban yang diharapkan
(a) Volumenya V = 3 x 2 x 5 = 30
(b) Volumenya V = 10 x 5 x15 = 750
(c) Volumenya V = p x lxt.

Terakhir guru menawarkan penguatan bahwa volume balok yang ukuran rusuk-rusuk
alasnya p dan l sedangkan tingginya t ialah V = p x lxt.. Selanjutnya alasannya p x ladalah luas bantalan balok/prisma tegak, maka rumus (1) di atas  sama dengan bila ditulis dalam bentuk
V = Axt dengan A = p xl …. (2)
A = luas bantalan balok dan t = tinggi balok

Sumber: MARSUDI RAHARJO. (2009) GEOMETRI RUANG.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PMPTK). YOGYAKARTA: PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (P4TK) MATEMATIKA

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Volume Bangkit Ruang: Penurunan Rumus Volume Kubus, Volume Prisma Tegak Segitiga Siku-Siku, Volume Prisma Tegak Segitiga Sembarang, Volume Prisma Tegak Segibanyak (Segi-N), Volume Tabung, Volume Kerucut; Volume Bola, Dan Volume Limas Segi Banyak (Segi-N)

Volume Bangun Ruang: Penurunan Rumus Volume Kubus, Volume Prisma tegak segitiga siku-siku, Volume Prisma tegak segitiga sembarang, Volume  Prisma tegak segibanyak (segi-n), Volume Tabung, Volume Kerucut; Volume Bola, dan Volume  Limas segi banyak (segi-n) - Untuk menurunkan Rumus Volume Kubus, Volume Prisma tegak segitiga siku-siku, Volume Prisma tegak segitiga sembarang, Volume  Prisma tegak segibanyak (segi-n), Volume Tabung, Volume Kerucut; Volume Bola, dan Volume  Limas segi banyak (segi-n) dipakai Volume Balok/Prisma Tegak Segiempat Secara Induktif.Setelah penurunan rumus  Penurunan Rumus Volume Balok/Prisma Tegak Segiempat Secara Induktif  ini penurunan rumus-rumus volume bangkit ruang lainnya sanggup diturunkan secara gampang dan kronologis baik secara induktif  maupun deduktif. Penurunan rumus volume yang dimaksud ialah volume untuk Kubus, Prisma tegak segitiga siku-siku, Prisma tegak segitiga sembarang, Prisma tegak segibanyak (segi-n), Tabung, Kerucut, Bola, dan, Limas seegi banyak (segi-n)

Adapun skema penurunan rumus bangun-bangun ruang berikutnya sanggup kita lihat pada denah
berikut.

 Berdasarkan gambar di atas maka sanggup diturunkan rumus-rumus volume bangkit ruang yang lain baik secara induktif maupun secara deduktif.

Sumber: MARSUDI RAHARJO. (2009) GEOMETRI RUANG.DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PMPTK). YOGYAKARTA: PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (P4TK) MATEMATIKA

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com