Matematika Dasar : Pertidaksamaan Nilai Mutlak Dan Pola Soal

Matematika Dasar : Pertidaksamaan Nilai Mutlak dan Contoh Soal

Definisi

Sifat-Sifat Nilai Mutlak

Latihan I

Carilah HP dari ketidaksamaan berikut !

1. |x+3|<5 
2. |x-2|≥10 
3. |3x+1|<2|x-6| 
4. 2|x-1|≥|3x-2| 
5. |x-2|≤x|x|

Carilah HP dari ketidaksamaan berikut ! 

1.|x-3|>35
2.|2x-1|≤10
3.|x+2|<2|x-5|
4.3|x-5|≥|4x-3|
5.x|x|<x-2

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matematika Dasar : Turunan, Turunan Sepihak, Turunan Trigonometri, Turunan Implisit, Dan Pola Soal

Matematika Dasar : Turunan, Turunan Sepihak, Turunan Trigonometri, Turunan Implisit, dan Contoh Soal

Turunan di Satu Titik

Arti Geometri turunan fungsi di satu titik. f′(a) yaitu gradien garis singgung pada kurva y=f(x) di titik x=a

Definisi :

Contoh I

Misalkan f(x)=x^2-2x. Dengan memakai hukum turunan fungsi di satu titik, tentukan f′(1)!

Solusi :

Turunan Sepihak

Misalkan f(x) terdefinisi pada (c,a]. Turunan kiri f di a yaitu :

Misalkan f(x) terdefinisi pada [a,b). Turunan kanan f di a yaitu :

Teorema Turunan Sepihak

1. f′ (a)=L ↔ f_′ (a)=L=f+′ (a)

2. Jika f′(a) ada maka f kontinu di a

3. Jika f-′ (a) ≠ f+′ (a), maka f′(a) tidak ada. Dengan kata lain, fungsi f tidak terdiferensialkan di x=a


Contoh II

1. Diketahui 

Tentukan : 

• f′(1) 
• f′(-2) 
• f′(0) 

2. Diketahui f(x)=|x|. Apakah f′(0) ada?

Solusi untuk Contoh II no 1

Nilai f′(1) adalah: 

Nilai f′ (-2) adalah:

Nilai f′(0) yaitu : 

Karena f-′ (0) = f+′ (0), maka f′ (0)=-2

Aturan Mencari Turunan

Aturan untuk fungsi-fungsi khusus :

Simbol turunan

Jika y = f(x), maka y′ = f′(x) = dy/dx

Latihan 1

Carilah turunan fungsi berikut ini :

Turunan Trigonometri

Beberapa turunan trigonometri :

Latihan 2

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut :

Turunan ke-n

Dari definisi

dapat diperluas menjadi

atau

dan seterusnya

Latihan 3

1. Tentukan f′′(x) dari fungsi f(x)=x^4+x^3-2 !
2. Tentukan f′′′(x) dari fungsi f(x)=cos⁡(x^2+2) !

Pendiferensialan Implisit ( Turunan Implisit )

Perhatikan fungsi berikut ini :

x^2 y+3y^2+x^2=0 

Untuk fungsi tersebut :

• Turunannya tidak pribadi sanggup dicari 
• Gunakan turunan implisit 

Turunan fungsi terhadap x ditambah turunan fungsi terhadap y (saat fungsi diturunkan terhadap y, kali turunannya dengan y′)

Contoh

1. Tentukan y′ dari 2x^2 y+y=0!

Solusi :

2. Tentukan y′ dari x^2+5y^2=x+9!

Solusi :

Latihan 4

Tentukan y′ dari :

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matematika Dasar : Trigonometri Ii Dan Pola Soal

Matematika Dasar : Trigonometri II dan Contoh Soal

Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Jumlah Dua Sudut

Jika α dan β yaitu sudut :

Latihan 1

1. sin⁡ 75

2. cos⁡ 225

3. tan 165

Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Selisih Dua Sudut

Jika α dan β yaitu sudut :

Latihan 2

1. sin⁡ 15

2. cos⁡ 345

3. tan 135

Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda

Untuk semua sudut α :

Latihan 3 

Jika diketahui sin⁡ α = 4/5, tentukan : 

1. sin⁡ 2α 

2. cos⁡ 2α 

3. tan ⁡2α

Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Pertengahan

Untuk semua sudut α :

Latihan 4

Jika diketahui sin⁡α = 4/5 dan α berada di kuadran I, tentukan :

1. sin⁡ 1/2 α

2. cos⁡ 1/2 α

3. tan⁡ 1/2 α

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Jika α dan β yaitu sudut-sudut sembarang, maka :

Latihan 5

Hitunglah nilai dari 2 sin⁡ 15 cos⁡ 75 !

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

Jika α dan β yaitu sudut-sudut sembarang, maka :

Latihan 6

1. Hitunglah nilai dari cos⁡ 75 - cos⁡ 15 !

2. Hitunglah nilai dari sin 75 - sin 15 !

Latihan 7

1. Hitunglah :

2. Diketahui sin⁡α= 0,6 dan cos⁡β= -5/13, dengan α sudut lancip dan β sudut tumpul. Hitunglah :

a. sin⁡ (α+β)
b. cos⁡ (α+β)
c. tan (α-β)

d. cot⁡ (α+β)

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matematika Dasar : Aplikasi Turunan Dan Teladan Soal

Matematika Dasar : Aplikasi Turunan dan Contoh Soal

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (a,f(a)) : 

y-f(a)= m(x-a)

m = f′(a), jadi: 

y-f(a)= f′(a)(x-a)

Latihan 1

Solusi Latihan 1 No 1 dan 2

Aproksimasi

Tujuannya untuk menghitung nilai dari f( x+∆x ) kalau diketahui f(x) dan f′(x). Nilai f( x+∆x ) sanggup dihampiri dengan :

f( x+∆x ) ≅ f(x)+ f′(x)∆x

Latihan 2

Solusi Latihan 2 no 1

Maksimum dan Minimum

Definisi :

1. f(c) yaitu nilai maksimum dari f pada S kalau f(c) ≥ f(x) untuk setiap nilai x di S
2. f(c) adalah nilai minimum dari f pada S kalau f(c) ≤ f(x) untuk setiap nilai x di S
3. Jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum, maka f(c) dikatakan nilai ekstrim dari f pada S

Titik Kritis

Definisi: calon titik ekstrim 

Fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat c. Titik kritis: 

1. Titik ujung dari I 
2. Titik stasioner: ((x,f(x)) di ketika f′(x) = 0) 
3. Titik singular: ((x,f(x)) di ketika f′(x) tidak ada) 

Latihan 3

1. Tentukan titik kritis dan nilai ekstrim dari :

2. Joan mempunyai pagar dengan panjang 200 kaki. Pagar tersebut akan digunakan untuk menciptakan sebuah sangkar anjing yang berbentuk persegi panjang. Joan berharap luas yang dibentuk sanggup semaksimum mungkin, tentukan panjang dan lebar dari sangkar tersebut! 

3. Sebuah kotak tanpa tutup berbentuk balok akan dibentuk dari sebuah karton berukuran 24 cm×9 cm dengan menggunting persegi-persegi identik di keempat sudut karton. Tentukan dimensi dari kotak yang sanggup dibentuk semoga volumenya semaksimal mungkin. Berapakah volume maksimalnya?

4. Biaya operasi sebuah trus yaitu 25-x/4 sen/mil kalau truk tersebut berkendara dengan kecepatan x mil/jam. Supir truk akan mendapat $12 per jam. Berapakah kecepatan yang harus ditempuh oleh truk unuk melaksanakan perjalanan sejauh 400 mil semoga biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin. Kecepatan yang diperbolehkan yaitu di antara 40 dan 55 mil/jam.

Kemonotonan dan Kecekungan

Teorema Kemonotonan 

Misal fungsi f kontinu pada I dan terdiferensialkan pada setiap titik pada I 

1. Jika f′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f monoton naik pada I 
2. Jika f′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f monoton turun pada I 
3. Titik (c,f(c)) adalah titik ekstrim kalau terjadi perubahan kemonotonan di sekitar c

Teorema Kecekungan 

Misal fungsi f kontinu pada I dan terdiferensialkan dua kali pada setiap titik pada I 

1. Jika f′′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f cekung atas pada I 
2. Jika f′′(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f cekung bawah pada I 
3. Titik (c,f(c)) yaitu titik belok kalau terjadi perubahan kecekungan di sekitar c dan f′(c) nya ada

Latihan 4

Teorema L’Hopital

Digunakan untuk menuntaskan limit yang berbentuk 0/0 atau ∞/∞, untuk x menuju apa saja

Latihan 5

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com