√ Sekilas Perihal Aljabar

Sekilas Tentang Aljabar-Istilah "aljabar" selalu muncul pada mata pelajaran matematika dari jenjang Sekolah Menengah Pertama ke Perguruan Tinggi. Beberapa nama aljabar muncul sesuai dengan tingkatnya menyerupai  " Aljabar Rendah" dan "Aljabar Sekolah." Ada juga nama yang mengacu pada isinya, menyerupai " Aljabar Linear," " Aljabar Matriks", " Aljabar Polinomial," dan lain-lain

Kata "aljabar" berasal dari kata Arab “al-jabr” yang berarti "kembali berkumpul ke bab keseluruhan "Seperti yang dipakai dikala ini,  Aljabar mengacu pada sebuah bahasa matematika yang dipakai untuk menggeneralisir  atau "menyatukan" pernyataan wacana  sistem matematika. 

Dalam kurikulum,  bukan duduk perkara sederhana untuk menyampaikan “di mana aritmatika harus berhenti" dan “dimana aljabar seharusnya dimulai”. Ada cukup banyak bentuk aljabar yang ditemukan pada aritmatika di SD dan cukup banyak aritmatika yang dipelajari  pada awal pelajaran wacana aljabar.

Secara khusus  3 + 4 = 7 ialah pernyataan aritmatika. Namun, pernyataan: untuk semua bilangan bulat a dan b, a+b=b+a ialah pernyataan aljabar. Secara khusus, dalam aritmatika kita berurusan dengan bilangan spesifik dan  menulis simbol bagi mereka, melaksanakan operasi pada mereka, dan mempertimbangkan korelasi antara mereka. Dalam aljabar, kita tambahkan gagasan penting variabel dari sabuah himpunan.

 

Aljabar memakai huruf-huruf kecil (seperti x atau y) atau lambang lambang yang lain pada kawasan yang menggantikan sembarang nilai.  Dalam aljabar, terdapat beberapa hukum yang memungkinkan kita menuntaskan sebuah persamaan.

Sebagai contoh, misalkan diberikan sebuah persamaan : x + 3 = 7.  Huruf "x" merupakan sesuatu yang tidak diketahui (biasanya disebut "variabel"). Dalam teladan ini, nilai atau pengganti  "x" sanggup ditentukan dengan menjumlahkan kedua sisi persamaan dengan -3 sebagai berikut:

Mulai dengan : x + 3 = 7

Tambahkan -3 pada kedua sisinya: x + 3 + (− 3) = 7+(− 3)

Hitung : x + 0 = 4

Jawaban : x = 4

Contoh lain contohnya diberikan sebuah kalimat terbuka x+2y=6. Nilai-nilai x dan y yang memenuhi x+2y=6 ialah {(-2,4), (-1,7/2), (0,3), (1,5/2), (2,2), 3,3/2), (4,1)}.
 

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?

Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?

Mathematics is the queen of sciences  and arithmetic the queen of mathematics.

Carl Friedrich Gaus [WEC02]

Teori bilangan ialah cabang dari matematika dimana yang dipelajari ialah sifat dan relasi antara beberapa tipe bilangan. Semesta pembicaraan dalam Teori Bilangan yang paling penting ialah himpunan bilangan bundar positif (Z).Sebagai salah satu cabang matematika, teori bilangan sanggup disebut sebagai “Aritmetika Lanjut (Advanced Arithmetics)”. Dalam teori bilangan terdapat beberapa bab yang dipelajari berafiliasi dengan bilangan bundar yaitu diantaranya: bilangan prima (prime numbers), teorema mendasar aritmetika (fundamental theory of arithmetic), kongruensi (congruences) dan uji-uji keprimaan (primality test).

Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya terdiri dari dua faktor yaitu 1 dan bilangan prima itu sendiri. Inti penting dari teori bilangan ialah memperlihatkan bahwa bilangan-bilangan bundar dibangun dari hasil perkalian bilangan-bilangan prima. Bilangan prima merupakan multiplicative building blocks dari bilangan bulat. Artinya, setiap bilangan bundar positif sanggup diformulasi secara unik sebagai perkalian dari bilangan bilangan prima. Pernyataan ini merupakan suara dari teori penting dalam teori bilangan yaitu teorema dasar aritmetika (fundamental theorem of arithmetics).

Teori bilangan telah menarik perhatian ilmuwan selama ribuan tahun, kira-kira semenjak 2.500 tahun yang lalu. Perhatian kepada pentingnya bilangan prima telah dimulai oleh matematisi dari Yunani yaitu Euclid. Pertanyaan penting untuk dipikirkan perihal bilangan prima ialah adalah apakah ada takhingga banyak bilangan prima ? Euclid menyatakan dan menunjukan bahwa memang benar ada takhingga banyak bilangan prima. Theorema dan bukti ini telah dinyatakan sebagai salah satu teori dan bukti yang paling indah dari semua bukti-bukti yang ada dalam matematika. Euclid juga merupakan penemu Algoritma Euclidean, yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.

Studi perihal bilangan prima terus berkembang khususnya pada kurun ke-17 dan ke-18. Pada masa-masa inilah disebut awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh para matematisi seperti: Pierre de Femmat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1735-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963) yang menghasilkan beberapa bukti dan konjektur penting yang berafiliasi dengan teori bilangan [HTTP1]. Salah satu matematisi terbesar paling besar pada kurun ke-18 dalam sejarah teori bilangan ini ialah seorang Jerman berjulukan Carl Friedrich Gaus yang menyebarkan perihal kekongruenan (congruences). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics [KHR11].

Masalah pemilahan bilangan prima dari sekumpulan bilangan bundar merupakan salah satu kasus penting dan merupakan problem yang rumit dalam teori bilangan. Sejak kurun ke-19 ditemukan banyak cara untuk memilih apakah sebuah bilangan bundar termasuk bilangan prima atau bukan. Tes tersebut dinamakan tes keprimaan (primality tests). Tes yang paling sederhana dalam memilih apakah sebuah bilangan bundar positif merupakan bilangan prima atau bukan bilangan prima tidak efektif untuk bilangan-bilangan yang lebih besar. Tes sederhana tersebut adalah” sebuah bilangan bundar positif ialah bilangan prima jikalau bilangan bundar tersebut tidak habis dibagi dengan sekurang-kurangnya satu dari bilangan bilangan prima yang lebih kecil atau sama akar kuadrat dari bilangan itu.

Banyak pendekatan yang dipakai untuk memilah bilangan prima dari bilangan bulat. Sebagai contoh, pada kurun ke-19 Pierre de Fermat memperlihatkan bahwa: jikalau maka p merupakan bilangan prima. Hal ini berarti saat akan menguji apakah sebuah bilangan n merupakan bilangan prima atau tidak, cukup dibuktikan bahwa dipastikan n ialah bilangan prima. Ternyata sehabis dicoba ada bilangan bundar menyerupai 341 yang bukan merupakan bilangan prima (bilangan komposit). Karena 341=11x31 tetapi . 

Bilangan komposit n yang memenuhi  disebut dengan bilangan prima semu (pseudoprimes). Untunglah bilangan prima semu relatif jarang ditemui artinya, diharapkan banyak waktu untuk menemukan bilangan yang bukan bilangan prima semu. Tetapi perlu diingat bahwa ada takhingga banyak bilangan bundar yang harus dibuktikan dan dibutuhkan banyak waktu untuk menunjukan bilangan bundar yang bukan bilangan prima semu. Oleh kesudahannya kita tidak sanggup dengan niscaya memilih jika  maka n ialah bilangan prima. Pendekatan ini tidak sanggup dipakai untuk menunjukan bahwa sebuah bilangan bundar ialah bilangan prima.

Mencari sebuah metode atau pendekatan yang efisien untuk menunjukan bahwa sebuah bilangan bundar ialah bilangan prima terus menjadi pertanyaan dalam kurun waktu ratusan tahun. Sebuah kejutan untuk komunitas matematika, pertanyaan ini terjawab pada Tahun 2002 oleh tiga orang ilmuwan komputer India yaitu Manindra Agrawal, Neeraj Kayal dan Nitin Saxena. Mereka menemukan algoritma yang sanggup menunjukan primalitas sebuah bilangan bundar dalam sebuah waktu polinomial [KHR11].

Memfaktorkan bilangan bundar positif menjadi bilangan-bilangan prima juga merupakan kasus pokok dalam teori bilangan.Pemfaktoran bilangan bundar positif sanggup dilakukan dengan cara coba-coba yaitu membagi bilangan bundar positif dengan bilangan-bilangan prima. Cara ini mebutuhkan waktu yang relatif lama.Fermat, Euler dan banyak matematisi yang lain menemukan cara-cara untuk memfaktorisasi bilangan-bilangan bulat. Dengan memakai teknik-teknik tersebut juga sanggup dengan gampang menemukan bilangan prima yang terdiri dari ratusan dan bahkan mungkin ribuan angka dan memfaktorkan bilangan bundar dengan banyak angka.

Dikotomi antara besarnya bilangan dan waktu yang dibutuhkan untuk memilih apakah sebuah bilangan bundar merupakan bilangan prima telah menjadi laba dalam penciptaan sistem keamanan pesan yaitu RSA cryptosystem [KHR11]. Aritmetika modulo dan bilangan prima mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu komputer khususnya bidang kriptografi, suatu bidang ilmu dan seni menjaga keamanan pesan [RM12]. Sistem RSA (Rivest-Shamir-Adleman) merupakan salah satu sistem dalam kriptografi. Kriptografi merupakan sistem keamanan pesan dimana setiap individu mempunyai sebuah kunci eksklusif (privat key). Pesan-pesan yang dikirimkan akan dienskripsi oleh setiap orang memakai public key masing-masing tetapi pesan tersebut hanya sanggup dideskripsi oleh pemilik pesan atau yang mempunyai privat key pemilik pesan. Oleh karenanya, pemahaman yang baik perihal konsep teori bilangan khususnya aritmetika modulo dan bilangan prima sangat penting untuk sanggup memahami prinsip kerja dari RSA cryptosystem [KHR11].

Masalah lain dari teori bilangan yang juga penting ialah memilih penyelesaian bundar dari sebuah persamaan. Sebuah persamaan dengan syarat utama bahwa penyelesaiannya harus bilangan bundar dinamakan persamaan diophantine (merupakan nama matematisi Yunani, Diophantus). Banyak jenis persamaan diophantine yang ada, namun yang paling populer ialah persamaan Fermat : . Teorema terakhir Fermat ialah jika  dan  maka persamaan  tidak mempunyai solusi yang bulat. Fermat menuliskan teorema ini tetapi tidak meninggalkan buktinya sehingga masih dianggap sebagai sebuah konjektur. Sejak kurun ketujuhbelas, konjektur ini sanggup diterima namun para matematisi terus menunjukan konjektur ini hingga kurang lebih tiga abad. Konjektur ini sanggup diterima menjadi theorema antara Tahun 1994-1995 saat Andrew J. Willes sanggup membuktikannya. Konon, Willes memerlukan kurang lebih 200 lembar kertas untuk menuliskan langkah-langkah pembuktian teorema ini [WM11].

Berdasarkan bukti yang ditunjukan oleh Willes, teori bilangan dianggap bukan sesuatu yang mapan tetapi akan terus berkembang. Eksperimen dan eksplorasi memainkan peranan yang penting dalam berguru teori bilangan. Penemuan hasil eksperimen dan eksplorasi sanggup menciptakan teori sebelumnya lebih mapan ataupun sanggup difalsifikasi. Dengan berkembangnya internet setiap orang sanggup ikut berpartisipasi dalam menyebarkan teori bilangan. Sebagai contoh, siapa saja sanggup bergabung untuk memilih bilangan prima Marsene yaitu bilangan prima dengan bentuk dimana p ialah bilangan prima. Pada Agustus 2008, bilangan prima pertama dengan banyak 10 juta angka berhasil ditemukan yaitu  . Penemuan ini dihargai $100.000 oleh Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation secara khusus memperlihatkan perhatian bagi inovasi bilangan prima yang lebih besar dari 100 juta angka [KHR11]. Setelah berguru teori bilangan seharusnya kita sanggup secara bijak memakai komputer dan modem atau jaringan internet contohnya untuk mendapat hadiah dari Electronic Frontier Foundation yang tentunya tersedia dengan jumlah yang semakin fantastis.

Selain kasus di atas, masih banyak permasalahan terutama konjektur-konjektur dalam teori bilangan yang belum terpecahkan, misalnya: konjektur Goldbach’s, konjektur Twin Prime, konjektur 3n+1, cara cepat memfaktorkan bilangan bundar yang besar, dan masih banyak lagi kasus lainnya [WEC02]. Makara berguru teori bilangan tidaklah mudah, namun demikian tentu sanggup dipelajari dan ada keindahan di dalamnya.

Sumber:

[KHR11] Rosen, K.H.2011. Elementary Number Theory (6th Ed). Boston: Addison-Wesley

[WEC02] Clark, W.E. 2002. Elementary Number Theory (a revision by: Jim Hefferon).[online]. University of Florida. Tersedia di jim@joshua.smcvt.edu diakses 12 April 2007.

[WM11] Murtiningsih, W. 2011. Para Pendekar Matematika dari Yunani hingga Persia. Yogyakarta: Diva Press.

[RM12] Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

[HTTP1] http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss diakses 17 Februari 2015.

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Pengembangan Konsep Bilangan Genap Dan Bilangan Ganjil

Pengembangan Konsep Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil-Seperti yang telah saya tuliskan sebelumnya tentang menyebarkan dan mengkomunikasikan konsep matematika, bahwa konsep matematika dibangun oleh konsep-konsep yang abstrak. Bagi siswa sekolah dasar, bilangan genap dan ganjil merupakan salah satu konsep yang tidak gampang dipahami. Jika guru tidak mengenalkan konsep ini dengan baik, maka siswa akan kesulitan untuk mempelajari konsep-konsep lanjutan contohnya konsep bilangan prima, konsep kelipatan, faktor dan ketrampilan-ketrampilan yang menuntut penguasaan konsep bilangan genap dan bilangan ganjil.

Konsep sangat akrab kaitannya dengan definisi definisi yang bekerjasama dengan konsep. Guru yang akan mengajarkan konsep ini hendaknya mengajarkan definisi-definisi terkait konsep mulai dari definisi yang paling gampang dimengerti oleh siswa hingga pada definisi formal. Pemahaman akan definisi formal akan lebih gampang jikalau siswa selalu dilatihkan mendefinisikan sesuatu (konsep matematika) dengan caranya sendiri berdasarkan rujukan konsep dan bukan rujukan konsep yang diberikan.

 Pembelajaran di SD

Pembelajaran untuk pengembangan konsep bilangan ganjil sanggup dimulai saat guru telah sangat yakin bahwa para siswanya tidak mempunyai miskonsepsi terkait dengan konsep pembagian. Materi prasyarat untuk pengenalan konsep bilangan ganjil dan genap yakni bahan pembagian bilangan asli.Hal ini dikarenakan definisi dari bilangan ganjil dan bilangan genap untuk siswa sekolah dasar memakai konsep habis dibagi dan tidak habis dibagi. Bilangan orisinil yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan ganjil sedangkan bilangan orisinil yang habis dibagi dua disebut bilangan genap.

Konsep : Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Contoh Konsep dan Bukan Contoh Konsep

1. 1. 3, 5, 7, 11,... yakni bilangan ganjil, alasannya bilangan-bilangan tersebut jikalau dibagi dua selalu mempunyai sisa satu. Dengan kata lain bilangan-bilangan tersebut tidak habis dibagi dua.
2. 2. 4, 6, 8, 10,.... yakni bilangan-bilangan genap, alasannya jikalau bilangan-bilangan tersebut dibagi dua sisanya nol. Dengan kata lain bilangan-bilangan tersebut habis dibagi dua.

Dalam kaitannya dengan rujukan konsep dan bukan rujukan konsep bilangan ganjil dan bilangan genap, guru perlu memakai media atau alat peraga yang sesuai. Media yang sanggup guru gunakan untuk menanamkan konsep bilangan ganjil dan genap kepada siswa, yakni kelereng, lidi atau benda lain yang gampang ditemukan oleh siswa. Langkah-langkah pembelajarannya yakni sebagai berikut:

Ambilah sejumlah lidi atau kelereng, kemudian dikelompokan dua-dua. Jika ternyata ada lidi atau kelereng yang tidak mempunyai pasangan maka banyaknya lidi atau kelereng yang diambil yakni ganjil.Perlihatkan kepada siswa dengan suruhan : Pandang kelompok kelereng di bawah ini, kemudian hitung banyaknya kelereng berdasarkan baris :

Kelereng di atas dikelompokan dua-dua ternyata menyisahkan satu, atau ada kelereng yang tidak mempunyai pasangan. Dengan demikian 1, 3, 5, 7 merupakan bilangan ganjil. Dengan algoritma yang sama anda juga sanggup menandakan bahwa, 2, 4, 6, 8,... merupakan bilangan-bilangan genap. 

Untuk lebih memantapkan pemahaman siswa perihal konsep bilangan ganjil dan genap, sebaiknya anda melaksanakan hal-hal sebagai berikut:

1. Tugasi beberapa siswa masing-masing mengambil lidi atau kelereng atau benda lain yang ada di sekitar siswa.
2. Masing-masing siswa disuruh mengelompokan benda-benda yang dikumpulkannya dua-dua.
3. Masing-masing anak disuruh menghitung kelereng yang telah dipisahkannya dua-dua
4. Pisahkan siswa yang mengelompokan-benda-benda tersebut yang menyisahkan satu dan yang tidak menyisahkan sesudah benda-benda dikelompokan.
5. Jelaskan kepada siswa kelompok mana yang memegang kelereng atau benda lain dengan jumlah ganjil dan kelompok mana yang memegang kelereng atau benda lain dengan jumlah genap.

 Pembelajaran di SMP

Untuk tingkat yang lebih tinggi, contohnya tingkat kompetensi SMP, berdasarkan definisi dan rujukan bilangan ganjil dan bilangan genap tersebut di atas sanggup didefinisikan secara lebih formal sebagai berikut.

1. Bilangan ganjil yakni bilangan yang sanggup ditulis dalam bentuk 2k + 1, dengan k yakni bilangan cacah.
2. Bilangan genap yakni bilangan yang sanggup ditulis dalam bentuk 2k, dengan k yakni bilangan cacah.

Contoh :

1. 5 = 2(2) + 1, jadi 5 yakni bilangan ganjil

2. 7 = 2(3) + 1, jadi 7 yakni bilangan ganjil

3. 8 = 2(4), jadi 8 yakni bilangan genap

4. 10 = 2(5), jadi 10 yakni bilangan genap.

Setelah siswa melihat dan dan sanggup memilih rujukan dan bukan rujukan dari bilangan ganjil dan genap secara lebih formal, siwa sanggup diajak untuk melihat sifat bilangan ganjil dan genap. Misalkan siswa diminta memperhatika penjumlahan berikut:

3 + 7 = 10

1 + 5 = 6

13 + 25 = 28

17 + 13 = 30

Hasil penjumlahan dari dua bilangan ganjil menyerupai di atas selalu merupakan bilangan genap. Kepada siswa anda sanggup menjelskan secara induktif menyerupai di atas dan menyimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil yakni bilangan genap. Tetapi dalam matematika hal ini harus dibuktikan secara deduktif, artinya dari pernyataan yang benar yang bersifat umum diberlakukan untuk pernyataan-pernyataan khusus. Pembuktian secara deduktif sanggup diperlihatkan sebagai berikut.Tentu saja pembuktian ini tidak untuk diperkenalkan pada siswa sekolah dasar.

Teorema : Jumlah dua bilangan ganjil yakni bilangan genap

Bukti : Misalkan x dan y masing-masing yakni bilangan ganjil. Maka berdasarkan definisi x dan y sanggup ditulis :

x = 2k +1, k yakni bilangan cacah

y = 2h + 1, h yakni bilangan cacah

Jadi x + y = (2k+1)+(2h+1)

                = 2k + 2h +2

                = 2 (k+h+1)

Karena k, h, 1 yakni bilangan-bilangan cacah maka k+h+1 juga merupakan bilangan cacah. Misalkan : k+h+1= g maka x+y = 2g, dengan g yakni bilangan cacah. Makara berdasarkan definisi x+y merupakan bilangan genap

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com

√ Perihal Menyebarkan Dan Mengkomunikasikan Konsep Matematika

Matematika merupakan bahasa universal dan bahasa simbolis yang memungkinkan kita berpikir,  melaksanakan pencatatan dan mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang berkaitan dengan elemen-elemen dan hubungan-hubungan kuantitas. Learner (1985) menyatakan wacana matematika bahwa:” Mathematics has been called a universal language. It is symbolic language that enables human beings to think about, record, and comunicate ideas concerning the elements and the relationships of quantity”. Matematika merupakan bahasa simbolis dan universal, yang mempunyai fungsi praktis, supaya insan sanggup mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan. Sebagai bahasa universal, matematika memungkinkan kita, untuk sanggup melaksanakan pencatatan dan mengkomunikasikan gagasan-gagasan yang berafiliasi dengan kuantitas (Delphie, 2009)

Banyak hal dalam matematika dibangun oleh konsep-konsep yang ajaib sehingga obyek-obyek dasar matematika sering juga disebut obyek mental atau obyek pikiran yang berupa fakta, konsep, operasi dan prinsip. Konsep dalam matematika merupakan hal dasar dan ajaib yang memungkinkan kita untuk mengklasifikasi (mengelompokan) obyek atau insiden dan menunjukan apakah objek atau insiden itu merupakan rujukan atau bukan rujukan dari pengertian tersebut.  Dengan kalimat lain, konsep merupakan gagasan ajaib yang sanggup dipakai untuk mengklasifikasi sekumpulan obyek, apakah obyek tertentu merupakan rujukan konsep atau bukan konsep.

Matematika terdiri dari banyak konsep. Contoh konsep dalam matematika misalnya: konsep wacana himpunan, konsep wacana persamaan, konsep wacana fungsi dan sebagainya. Suatu konsep sanggup ditunjukkan dengan sesuatu yang konkrit (misalnya gas, kerikil dan sebagainya).Konsep sanggup pula merupakan sesuatu yang ajaib (misalnya cinta, fungsi dan sebagainya). Dalam matematika pada umumnya konsep yakni abstrak, contohnya konsep tentang: himpunan, persamaan dan lain-lain. Membelajarkan matematika berarti guru akan mengkomunikasikan konsep-konsep yang ada dalam matematika. Forbes& Eicholz (1971) menyatakan bahwa, pada umumnya dalam membangun sebuah konsep ada tiga hal yang terlibat dalam penguasaan dan komunikasi yaitu:

Contoh-contoh

Sebuah Ide/Gagasan/Konsep

Simbol/Lambang

Ketiga hal di atas selalu muncul pada setiap situasi pembelajaran matematika. Obyek pribadi dari berguru matematika pada hakikatnya merupakan penanaman kebijaksanaan budi dan pelatihan keterampilan dari konsep-konsep (Karso, dkk, 1.43). Pada umumnya konsep-konsep matematika di sekolah dasar dikelompokan dalam tiga jenis konsep yaitu: konsep dasar, konsep yang berkembang dan konsep yang dibina keterampilannya. Oleh jadinya dalam pembelajaran konsep matematika terdiri dari tiga tahap yaitu penanaman konsep konsep dasar, pemahaman konsep dan pelatihan konsep.

Pembelajaran matematika yang bermakna lebih ditekankan pada bagaimana siswa mengkonstruksi pengetahuan mereka sendiri (constructivism) atau menemukan kembali (reinvention) konsep-konsep matematika. Pengetahuan konseptual matematika (conceptual knowledge of mathematics) terdiri dari hubungan-hubungan logis yang dikonstruksi dan terdapat pola pikir tertentu dalam gagasan atau ide-ide di dalamnya. 

Baca Juga: Miskonsepsi Penggunaan Tanda "sama dengan"

Konsep : Benda-benda di himpunan contoh memiliki sesuatu yang sama. Sifat umum yang dimiliki adalah biru 

Lambang : kata “biru” yang dicetak dan jikalau dibaca yakni “biru”

Siswa dikatakan bisa menyebarkan konsep biru dikala mereka bisa mengelompokan obyek dan mengasosiasikan konsep biru dengan nama obyek tertentu contohnya kendaraan beroda empat biru, maritim biru, mata Soeploe biru dan lain lain.

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com