√ Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?

Teori Bilangan: Apa Yang Dipelajari ?

Mathematics is the queen of sciences  and arithmetic the queen of mathematics.

Carl Friedrich Gaus [WEC02]

Teori bilangan ialah cabang dari matematika dimana yang dipelajari ialah sifat dan relasi antara beberapa tipe bilangan. Semesta pembicaraan dalam Teori Bilangan yang paling penting ialah himpunan bilangan bundar positif (Z).Sebagai salah satu cabang matematika, teori bilangan sanggup disebut sebagai “Aritmetika Lanjut (Advanced Arithmetics)”. Dalam teori bilangan terdapat beberapa bab yang dipelajari berafiliasi dengan bilangan bundar yaitu diantaranya: bilangan prima (prime numbers), teorema mendasar aritmetika (fundamental theory of arithmetic), kongruensi (congruences) dan uji-uji keprimaan (primality test).

Bilangan prima merupakan bilangan yang hanya terdiri dari dua faktor yaitu 1 dan bilangan prima itu sendiri. Inti penting dari teori bilangan ialah memperlihatkan bahwa bilangan-bilangan bundar dibangun dari hasil perkalian bilangan-bilangan prima. Bilangan prima merupakan multiplicative building blocks dari bilangan bulat. Artinya, setiap bilangan bundar positif sanggup diformulasi secara unik sebagai perkalian dari bilangan bilangan prima. Pernyataan ini merupakan suara dari teori penting dalam teori bilangan yaitu teorema dasar aritmetika (fundamental theorem of arithmetics).

Teori bilangan telah menarik perhatian ilmuwan selama ribuan tahun, kira-kira semenjak 2.500 tahun yang lalu. Perhatian kepada pentingnya bilangan prima telah dimulai oleh matematisi dari Yunani yaitu Euclid. Pertanyaan penting untuk dipikirkan perihal bilangan prima ialah adalah apakah ada takhingga banyak bilangan prima ? Euclid menyatakan dan menunjukan bahwa memang benar ada takhingga banyak bilangan prima. Theorema dan bukti ini telah dinyatakan sebagai salah satu teori dan bukti yang paling indah dari semua bukti-bukti yang ada dalam matematika. Euclid juga merupakan penemu Algoritma Euclidean, yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, Element.

Studi perihal bilangan prima terus berkembang khususnya pada kurun ke-17 dan ke-18. Pada masa-masa inilah disebut awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh para matematisi seperti: Pierre de Femmat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1735-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963) yang menghasilkan beberapa bukti dan konjektur penting yang berafiliasi dengan teori bilangan [HTTP1]. Salah satu matematisi terbesar paling besar pada kurun ke-18 dalam sejarah teori bilangan ini ialah seorang Jerman berjulukan Carl Friedrich Gaus yang menyebarkan perihal kekongruenan (congruences). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics [KHR11].

Masalah pemilahan bilangan prima dari sekumpulan bilangan bundar merupakan salah satu kasus penting dan merupakan problem yang rumit dalam teori bilangan. Sejak kurun ke-19 ditemukan banyak cara untuk memilih apakah sebuah bilangan bundar termasuk bilangan prima atau bukan. Tes tersebut dinamakan tes keprimaan (primality tests). Tes yang paling sederhana dalam memilih apakah sebuah bilangan bundar positif merupakan bilangan prima atau bukan bilangan prima tidak efektif untuk bilangan-bilangan yang lebih besar. Tes sederhana tersebut adalah” sebuah bilangan bundar positif ialah bilangan prima jikalau bilangan bundar tersebut tidak habis dibagi dengan sekurang-kurangnya satu dari bilangan bilangan prima yang lebih kecil atau sama akar kuadrat dari bilangan itu.

Banyak pendekatan yang dipakai untuk memilah bilangan prima dari bilangan bulat. Sebagai contoh, pada kurun ke-19 Pierre de Fermat memperlihatkan bahwa: jikalau maka p merupakan bilangan prima. Hal ini berarti saat akan menguji apakah sebuah bilangan n merupakan bilangan prima atau tidak, cukup dibuktikan bahwa dipastikan n ialah bilangan prima. Ternyata sehabis dicoba ada bilangan bundar menyerupai 341 yang bukan merupakan bilangan prima (bilangan komposit). Karena 341=11x31 tetapi . 

Bilangan komposit n yang memenuhi  disebut dengan bilangan prima semu (pseudoprimes). Untunglah bilangan prima semu relatif jarang ditemui artinya, diharapkan banyak waktu untuk menemukan bilangan yang bukan bilangan prima semu. Tetapi perlu diingat bahwa ada takhingga banyak bilangan bundar yang harus dibuktikan dan dibutuhkan banyak waktu untuk menunjukan bilangan bundar yang bukan bilangan prima semu. Oleh kesudahannya kita tidak sanggup dengan niscaya memilih jika  maka n ialah bilangan prima. Pendekatan ini tidak sanggup dipakai untuk menunjukan bahwa sebuah bilangan bundar ialah bilangan prima.

Mencari sebuah metode atau pendekatan yang efisien untuk menunjukan bahwa sebuah bilangan bundar ialah bilangan prima terus menjadi pertanyaan dalam kurun waktu ratusan tahun. Sebuah kejutan untuk komunitas matematika, pertanyaan ini terjawab pada Tahun 2002 oleh tiga orang ilmuwan komputer India yaitu Manindra Agrawal, Neeraj Kayal dan Nitin Saxena. Mereka menemukan algoritma yang sanggup menunjukan primalitas sebuah bilangan bundar dalam sebuah waktu polinomial [KHR11].

Memfaktorkan bilangan bundar positif menjadi bilangan-bilangan prima juga merupakan kasus pokok dalam teori bilangan.Pemfaktoran bilangan bundar positif sanggup dilakukan dengan cara coba-coba yaitu membagi bilangan bundar positif dengan bilangan-bilangan prima. Cara ini mebutuhkan waktu yang relatif lama.Fermat, Euler dan banyak matematisi yang lain menemukan cara-cara untuk memfaktorisasi bilangan-bilangan bulat. Dengan memakai teknik-teknik tersebut juga sanggup dengan gampang menemukan bilangan prima yang terdiri dari ratusan dan bahkan mungkin ribuan angka dan memfaktorkan bilangan bundar dengan banyak angka.

Dikotomi antara besarnya bilangan dan waktu yang dibutuhkan untuk memilih apakah sebuah bilangan bundar merupakan bilangan prima telah menjadi laba dalam penciptaan sistem keamanan pesan yaitu RSA cryptosystem [KHR11]. Aritmetika modulo dan bilangan prima mempunyai banyak aplikasi dalam ilmu komputer khususnya bidang kriptografi, suatu bidang ilmu dan seni menjaga keamanan pesan [RM12]. Sistem RSA (Rivest-Shamir-Adleman) merupakan salah satu sistem dalam kriptografi. Kriptografi merupakan sistem keamanan pesan dimana setiap individu mempunyai sebuah kunci eksklusif (privat key). Pesan-pesan yang dikirimkan akan dienskripsi oleh setiap orang memakai public key masing-masing tetapi pesan tersebut hanya sanggup dideskripsi oleh pemilik pesan atau yang mempunyai privat key pemilik pesan. Oleh karenanya, pemahaman yang baik perihal konsep teori bilangan khususnya aritmetika modulo dan bilangan prima sangat penting untuk sanggup memahami prinsip kerja dari RSA cryptosystem [KHR11].

Masalah lain dari teori bilangan yang juga penting ialah memilih penyelesaian bundar dari sebuah persamaan. Sebuah persamaan dengan syarat utama bahwa penyelesaiannya harus bilangan bundar dinamakan persamaan diophantine (merupakan nama matematisi Yunani, Diophantus). Banyak jenis persamaan diophantine yang ada, namun yang paling populer ialah persamaan Fermat : . Teorema terakhir Fermat ialah jika  dan  maka persamaan  tidak mempunyai solusi yang bulat. Fermat menuliskan teorema ini tetapi tidak meninggalkan buktinya sehingga masih dianggap sebagai sebuah konjektur. Sejak kurun ketujuhbelas, konjektur ini sanggup diterima namun para matematisi terus menunjukan konjektur ini hingga kurang lebih tiga abad. Konjektur ini sanggup diterima menjadi theorema antara Tahun 1994-1995 saat Andrew J. Willes sanggup membuktikannya. Konon, Willes memerlukan kurang lebih 200 lembar kertas untuk menuliskan langkah-langkah pembuktian teorema ini [WM11].

Berdasarkan bukti yang ditunjukan oleh Willes, teori bilangan dianggap bukan sesuatu yang mapan tetapi akan terus berkembang. Eksperimen dan eksplorasi memainkan peranan yang penting dalam berguru teori bilangan. Penemuan hasil eksperimen dan eksplorasi sanggup menciptakan teori sebelumnya lebih mapan ataupun sanggup difalsifikasi. Dengan berkembangnya internet setiap orang sanggup ikut berpartisipasi dalam menyebarkan teori bilangan. Sebagai contoh, siapa saja sanggup bergabung untuk memilih bilangan prima Marsene yaitu bilangan prima dengan bentuk dimana p ialah bilangan prima. Pada Agustus 2008, bilangan prima pertama dengan banyak 10 juta angka berhasil ditemukan yaitu  . Penemuan ini dihargai $100.000 oleh Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation secara khusus memperlihatkan perhatian bagi inovasi bilangan prima yang lebih besar dari 100 juta angka [KHR11]. Setelah berguru teori bilangan seharusnya kita sanggup secara bijak memakai komputer dan modem atau jaringan internet contohnya untuk mendapat hadiah dari Electronic Frontier Foundation yang tentunya tersedia dengan jumlah yang semakin fantastis.

Selain kasus di atas, masih banyak permasalahan terutama konjektur-konjektur dalam teori bilangan yang belum terpecahkan, misalnya: konjektur Goldbach’s, konjektur Twin Prime, konjektur 3n+1, cara cepat memfaktorkan bilangan bundar yang besar, dan masih banyak lagi kasus lainnya [WEC02]. Makara berguru teori bilangan tidaklah mudah, namun demikian tentu sanggup dipelajari dan ada keindahan di dalamnya.

Sumber:

[KHR11] Rosen, K.H.2011. Elementary Number Theory (6th Ed). Boston: Addison-Wesley

[WEC02] Clark, W.E. 2002. Elementary Number Theory (a revision by: Jim Hefferon).[online]. University of Florida. Tersedia di jim@joshua.smcvt.edu diakses 12 April 2007.

[WM11] Murtiningsih, W. 2011. Para Pendekar Matematika dari Yunani hingga Persia. Yogyakarta: Diva Press.

[RM12] Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

[HTTP1] http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss diakses 17 Februari 2015.

Sumber http://www.tipsbelajarmatematika.com