Matematika Diskrit : Prinsip Sarang Merpati, Hukum Sum, Hukum Product, Ekspansi Hukum Sum Dan Product, Dan Teladan Soal

Matematika Diskrit : Prinsip Sarang Merpati, Aturan Sum, Aturan Product, Perluasan Aturan Sum dan Product, dan Contoh Soal

Prinsip Sarang Merpati

Jika n+1 atau lebih objek ditempatkan dalam n buah kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi 2 atau lebih objek.

Contoh 1 : 

Dari 27 mahasiswa, paling tidak ada 2 orang yang namanya berawalan abjad yang sama. Hal ini sebab hanya ada 26 abjad dalam alfabet. 

Andaikan nama-nama mahasiswa ialah merpati dan 26 abjad ialah 26 buah sarang merpati. Kita tempatkan 27 nama-nama mahasiswa di sarang merpati, memasangkan abjad awal nama dengan sarang berhuruf yang sama. 

Maka akan ada sedikitnya 2 nama di sarang merpati yang sama.

Contoh 2 : 

Jika ada 32 mahasiswa, maka setidaknya ada 2 orang yang mempunyai tanggal lahir yang sama. 

Tanggal hanya terdiri atas 1- 31. 32 tanggal lahir mahasiswa sebagai merpati, 31 tanggal sebagai sarang merpati. 

Jika 32 merpati ditempatkan di 31 sarang merpati tersebut, sesuai dengan tanggal lahir, maka akan ada 1 sarang yang berisi lebih dari 1 mahasiswa.

Latihan 1

Jika ada banyak bola di kotak dengan warna merah, kuning, biru, dan hijau. Berapa banyaknya bola yang sedikitnya harus diambil untuk mendapat setidaknya 2 bola dengan warna sama?

Latihan 2

Prinsip Sarang Merpati Dirampatkan

Jika M buah objek ditempatkan di dalam n kotak, maka paling sedikit terdapat satu kotak yang berisi minimal ⌈ M/n ⌉ buah objek. 

Contoh 1

Jika ada 50 mahasiswa, maka setidaknya ada ⌈ 50/12 ⌉  = 5 orang mahasiswa yang berulang tahun pada bulan yang sama. 

Percobaan

Percobaan adalah proses yang dilakukan secara fisik dan sanggup diamati hasilnya.

Contoh 1

Percobaan melempar dadu. 

Hasil yang diamati: mata dadu yang muncul sehabis setiap lemparan

Hasil yang mungkin terjadi: {1,2,3,4,5,6}

Percobaan melempar koin.

Hasil yang diamati: sisi koin yang muncul sehabis setiap lemparan

Hasil yang mungkin terjadi: {tail, head}

Latihan 3

1. Percobaan mengambil kartu dari satu set kartu bridge

Hasil yang diamati?

Hasil yang mungkin terjadi?

2. Dalam pemilihan ketua kelas, ada 5 kandidat perempuan dan 6 kandidat pria. Ada berapa kemungkinan terpilihnya kandidat perempuan atau pria?

3. Dalam pemilihan pengurus kelas, akan dipilih 1 orang pengurus laki-laki dan 1 orang pengurus wanita. Kandidat pengurus laki-laki ialah Adi, Budi, Didi dan kandidat pengurus perempuan ialah Lina, Dina, Rina, Tina. Berapa kemungkinan pasangan yang terpilih? Apa saja kemungkinan tersebut?

Aturan sum

Misalkan

Dilakukan percobaan pertama dengan p hasil yang mungkin

Dilakukan percobaan kedua dengan q hasil yang mungkin

Maka

Kemungkinan hasil percobaan pertama atau percobaan kedua ialah p+q.

Contoh 1 : 

Sebuah restoran menyediakan 3 jenis masakan dan 2 jenis minuman. Makanan yang disediakan ialah nasi goreng, soto, dan mie goreng. Minuman yang disediakan ialah teh anggun dan es jeruk. Jika setiap orang boleh memesan 1 jenis masakan atau 1 jenis minuman, berapa kemungkinan masakan atau minuman yang sanggup dipesan? 

Percobaan 1: percobaan menentukan 1 jenis makanan. 

Banyaknya hasil yang mungkin : 3 

Kemungkinan hasil : {nasi goreng, soto, mie goreng}

Percobaan 2 : percobaan menentukan 1 jenis minuman.

Banyaknya hasil yang mungkin : 2

Hasil yang mungkin : {teh manis, es jeruk}

Banyaknya hasil yang mungkin pada percobaan 1 atau percobaan 2 ialah 3+2 = 5, yaitu {nasi goreng, soto, mie goreng, teh manis, es jeruk}

Contoh 2 :

Berapa banyak hasil yang mungkin pada percobaan pelemparan dadu atau pelemparan koin ?

Percobaan pelemparan dadu dengan 6 kemungkinan hasil. 

Percobaan pelemparan koin dengan 2 kemungkinan hasil.

Maka kemungkinan hasil pada pelemparan dadu atau pelemparan koin ialah 6+2 = 8.

Aturan product

Misalkan

Dilakukan percobaan pertama dengan p hasil yang mungkin

Dilakukan percobaan kedua dengan q hasil yang mungkin

Maka

Kemungkinan hasil percobaan pertama dan percobaan kedua ialah p x q.

Contoh 1 :

Sebuah restoran menyediakan 3 jenis masakan dan 2 jenis minuman. Makanan yang disediakan ialah nasi goreng, soto, dan mie goreng. Minuman yang disediakan ialah teh anggun dan es jeruk. Jika setia orang boleh memesan 1 jenis masakan dan 1 jenis minuman, berapa kemungkinan masakan dan minuman yang sanggup dipesan?

Kemungkinan masakan dan minuman yang sanggup dipesan ialah 3 x 2 = 6.

Perluasan Aturan sum dan product

Jika ada n percobaan dengan pi ialah banyaknya kemungkinan hasil dari masing-masing percobaan, maka hukum sum dan product menjadi :

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com