Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, Dan Teladan Soal

Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, dan Contoh Soal

Fungsi Atap

Fungsi atap f(x) yaitu fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan bundar yang sama dengan atau lebih dari x. 

Contoh : 

Fungsi Lantai

Fungsi atap f(x) yaitu fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan bundar yang sama dengan atau kurang dari x.

Contoh :

Diagram Fungsi atap dan Fungsi lantai

Latihan 1

Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jikalau definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. 

Fungsi rekursif terdiri atas 2 bab : 

Basis 

Bagian yang berisi nilai awal, yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. 

Rekurens 

Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. 

Contoh Fungsi Rekursif I

Misalkan f(n) = n!, maka fungsi faktorial ini sanggup dituliskan sebagai fungsi rekursif berikut :

Basisnya yaitu di ketika n = 0.

Sehingga

• n = 0, maka f(0) = 1 = 0!
• n = 1, maka f(1) = 1.f(0) = 1.1 = 1 = 1!
• n = 2, maka f(2) = 2.f(1) = 2.1 = 2 = 2!
• n = 3, maka f(3) = 3.f(2) = 3.2.1 = 6 = 3! dst

Contoh Fungsi Rekursif II

Fungsi Chebysev didefinisikan sebagai berikut : 

Fungsi ini mempunyai 2 basis, yaitu ketika n = 0 dan n= 1. 

Jika dituliskan nilai fungsinya : 

• n = 0, maka T(0,x) = 1 
• n = 1, maka T(1,x) = x 
• n = 2, maka 

Contoh Fungsi Rekursif III

Fungsi Fibonacci sanggup dituliskan sebagai fungsi rekursif sebagai berikut : 

Tentukan nilai fungsi untuk n = 0,1,2,3,4,5

Menyatakan sebagai Fungsi Rekursif

Misal, akan dinyatakan fungsi 

sebagai fungsi rekursif. 

Nyatakan f(n) dalam argumen rekursif

Tentukan basis, yaitu

Maka fungsi f (n) sanggup dinyatakan sebagai :

Latihan 2

Konsep Induksi Matematika

Metode pembuktian suatu proposisi yang berafiliasi dengan bilangan bulat.

Contoh proposisi :

• Untuk semua
• Banyaknya himpunan bab yang dibuat dari sebuah himpunan beranggotakan n elemen yaitu 2n. 

Prinsip Induksi Sederhana

Misalkan p(n) yaitu proposisi yang berafiliasi dengan bilangan bundar positif akan dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bundar positif n. 

Untuk menandakan proposisi ini benar, tunjukkan: 

1. p(1) benar 
2. Asumsikan p(n) benar 
3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Contoh 1

Tunjukkan bahwa untuk 

1. Tunjukkan p(1) benar. 

Untuk n = 1, p(1) benar karena 

2. Asumsikan p(n) benar. 

Maka 

3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Contoh 2

Tunjukkan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama yaitu n^2 

1. Tunjukkan p(1) benar 

Untuk n = 1, 1 = 1^2 maka p(1) benar 

2. Asumsikan p(n) benar

maka 1 + 3 + … + (2n-1) = n^2. 

3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Latihan 3

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com