teknologi : Matriks Dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, Dan Solution Space

Wednesday, October 17, 2018

Matriks Dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, Dan Solution Space

Matriks dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, dan Solution Space

Basis

Definisi : Generalisasi ruang vektor suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan 3.

Koordinat : Koefisien-koefisien pada basis V.

Jika V yakni suatu ruang vektor sebarang dan S = {v1 ,v2 , . . . ,vn } yakni himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V kalau dua syarat berikut berlaku:

S bebas linear
S merentang V

Basis dari ruang vektor itu tidak harus tunggal tetapi sanggup lebih dari satu basis. S itu termasuk bebas linear atau linear independent”. Maksudnya yakni bilangan – bilangan yang termasuk di dalam A harus bebas linier atau dengan kata lain dihentikan berkelipatan dengan himpunan yang lain.

Tetapi ada kalanya bagaimana kalau kita menemukan dua himpunan vektor atau lebih yang berkelipatan.Kondisi ibarat ini disebut bergantung linier.

Tetapi suatu himpunan sanggup juga disebut bergantung linier kalau terdapat himpunan vektor yang anggotanya mengandung nol.Jika ini terjadi berarti kedua himpunan tersebut bukan bersifat bebas linier dan berarti tidak sanggup disebut basis.

Contoh

Selidiki dan tentukan apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini bebas linier atau bergantung linier ?

A = {2,2,3} dan B = {3,1,2}
B = {2,3,4} dan C = {4,6,8}
U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W = {0,0,0}

Jawab

a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier sebab semua anggota himpunannya tidak berkelipatan.

b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier sebab semua anggota himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B.

c. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier walaupun himpunan lain bebas linier tetapi kalau ada himpunan yang mengandung nol tetap disebut bergantung linier.

Selain itu juga, untuk menunjukan apakah vektor-vektor tersebut yakni bebas linier dan membangun, anda cukup dengan melaksanakan OBE--Operasi Baris Elementer--dengan ketentuan:

Membangun kalau mempunyai setidaknya satu solusi--solusi banyak masih membangun
Bebas Linier apabila mempunyai solusi tunggal.

Contoh 2

Himpunan vektor-vektor , dimana v1= (2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5, 8) yakni himpunan tak bebas linier, sebab 3v1 + v2 – v3 = 0.

Contoh 3

Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) pada R3. Ruas komponen persamaan vector

K1 i + k2 j + k3 k = 0

K1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = 0

Kaprikornus , K1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linier. Uraian serupa sanggup dipakai untuk mengatakan bahwa vector-vector e1 = (0, 0, 0, … , 1), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), … ,en = (0, 0, 0, …,0) membentuk himpunan bebas linier pada Rn

Teorema :

Jika S = { v1, v2 , . . . , vn } yakni suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada V sanggup dinyatakan dalam bentuk v = c1v1+c2v2 + . . . +cnvn dengan sempurna satu cara.

Dimensi

Definisi: Jumlah vektor pada suatu basis.

Dimensi Terhingga : Suatu ruang vektor taknol V terdiri dari himpunan terhingga vektor-vekor {v1 , v2 , . . . , vn } yang membentuk suatu basis.

Kita sanggup mengetahui nilai dari suatu dimensi pada suatu himpunan atau basis dari jumlah vektor – vektor tersebut. Dengan kata lain misalkan V yakni suatu ruang vektor A = {v1,v2,v3,…vn} basis dari V. Dimensi dari V itu = n (banyaknya vektor – vektor di A).

Contoh :

Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibuat oleh :

A={1,2,3} B={2,2,3} C={2,1,2}
A={1,2,3} B={2,4,6} C={2,3,5}
A={2,3,4} B={4,6,8} C={6,9,12}

Jawab :

a. Ketiga himpunan diatas termasuk vektor yang bersifat bebas linier.Oleh sebab itu dimensinya yakni 3 dan basis yakni {A,B,C}.Ketiganya termasuk basis sebab bebas linier.

b. Dari himpunan – himpunan di atas,dua vektor yaitu {A,B} bergantung linier sebab berkelipatan.Karena lebih secara umum dikuasai bergantung linier sehingga {A,B,C} bergantung linier.Tetapi sebab yang sanggup dikatakan sebagai basis harus bersifat bebas linier sehingga kita sanggup mengambil dua vektor yang bebas linier yaitu {A,C}.Berarti dimensi adlah 2 sebab vektor yang termasuk basis ada 2.Jadi basisnya yakni {A,C}.

c. Ketiga vektor – vektor diatas berkelipatan sehingga bergantung linier.Karena dari itu,kita hanya sanggup mengambil satu vektor yang bebas linier yaitu {C}.Jadi dimensi yakni 1 dan basisnya yakni {C}.

Koordinat

S={v_1,v_2,…,v_n} is a basis for a vector space V, and v = c_1 v_1+c_2 v_2+…+c_n v_n

Coordinate is the expression for a vector v in terms of the basis S. The scalars c_1, c_2,…,c_n are called the coordinates of v relative to the basis S

(v)_s=(c_1,c_2,…,c_n)

Special case: where V=R^n and S is the standard basis → v=(v)_s

Contoh

We showed before that the vectors v_1 = (1, 2, 1), v_2 = (2, 9, 0), v_3 = (3, 3, 4) form a basis for R^3. Find the coordinate vector of v = (5, -1, 9) relative to the basis S = {v_1,v_2,v_3}
Find the vector v in R^3 whose coordinate vector relative to S in (v)_s = (-1,3,2)

Reduce and Enlarge Basis

Let S be a finite set of vectors in a finite-dimensional vector space V

If S spans V but is not a basis for V, then S can be reduced to a basis for V by removing appropriate vectors from S
If S is a linearly independent set that is not already a basis for V, then S can be enlarged to a basis for V by inserting appropriate vectors into S

Example

The vectors v_1 = (1, -2, 3) and v_2 = (0, 5, -3) are linearly independent. Enlarge {v_1,v_2} to a basis for R^3
Find a basis for the subspace of R^3 that is spanned by the vectors v_1 = (1, 0, 0), v_2 = (1, 0, 1), v_3 = (2, 0, 1), v_4 = (0, 0, -1)

Row Space, Column Space, and Null Space

Definition

A is an m×n matrix

Row space: the subspace of R^n spanned by the row vectors of A

Column space: the subspace of R^m spanned by the column vectors of A

Null space: the solution space of the homogeneous system of equations Ax=0, which is a subspace of R^n

Solution Space

The solution set of a homogeneous linear system Ax=0 of m equations in n unknowns is a subspace of R^n . The solution set → solution space of the system.

Determine the solution space of the system: